Бином Ньютона

naikiata · Сообщение **naikiata** » 19 янв 2014, 20:43

Не могу понять, когда доказываем(для n+1) сумму биномиальных коэффициентах, Cnm-1+Cmn, как именно она превратилась в Cmn+1
$C_{n}^{m-1}+C_{n}^{m}=C_{n+1}^{m}$

kiv · Сообщение **kiv** » 20 янв 2014, 08:39

Вы бы хоть немного конкретнее были, что ли... а то непонятно, что именно непонятно

bot · Сообщение **bot** » 20 янв 2014, 12:34

Рассмотрим многочлен $$(1+x)^n$$

. Поскольку он $$n$$

-ой степени, то его можно записать в виде

$\displaystyle (1+x)^n=C_n^0+C_n^1x+\ldots C_n^mx^m +\ldots +C_n^nx^n$

Здесь $$C_n^m$$

- это просто обозначения коэффициентов, нижний индекс $$n$$

отвечает за степень многочлена, а верхний $$m$$

- за степень икса перед которой он стоит.
Теперь с одной стороны

$\displaystyle (1) \ \ (1+x)^{n+1}=C_{n+1}^0+C_{n+1}^1x+\ldots +C_{n+1}^mx^m +\ldots +C_{n+1}^{n+1}x^{n+1}$

А с другой

$\displaystyle (2)\ \ (1+x)^{n+1}=(1+x)(C_n^0+C_n^1x+\ldots +C_n^mx^m +\ldots +C_n^nx^n)$

Остаётся раскрыть в (2) скобки и сравнить коэффициенты при m-ой степени икса в (1) и (2).

geh · Сообщение **geh** » 21 янв 2014, 13:48

Есть и другое доказательство.
будем исходить из формулы $C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$
итак, исходную сумму можно записать в виде:
$\frac{n!}{(n-m+1)!(m-1)!}+\frac{n!}{(n-m)!m!}=n!\left(\frac{1}{(n-m+1)!(m-1)!}+\frac{1}{(n-m)!m!}\right)=$
$n!\frac{n+1}{(n-m+1)!m!}=\frac{(n+1)!}{(n+1-m)!m!}=C_{n+1}^m$
что и требовалось доказать.

bot · Сообщение **bot** » 21 янв 2014, 15:52

А что такое $$C_n^m$$

? Вот как раз наоборот, зная тождество Паскаля $C_{n}^{m-1}+C_{n}^{m}=C_{n+1}^{m}$ , можно индукцией по $$n$$

доказать формулу $C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$

geh · Сообщение **geh** » 21 янв 2014, 17:06

Разумеется вы правы. Но в теории вероятности (сочетания)
эту формулу можно получить независимым способом.

yourdomain.com