надо решить его приближенно в радикалах с относительной погрешностью менее 1%
при следующих условиях
Решение:
для упрощения этого уравнения делается подстановка
исходное уравнение принимает вид:
условие становится таким z=0 при a=0
собственно говоря, данное уравнение имеет три вещественных корня, но мы ищем одно
Последнее уравнение можно рассматривать как функцию одной переменной z=z(a). При заданных
условиях мы рассмотрим одну ветвь на отрезке
легко видеть, что эта функция нечетная, а сама она похожа на синусоиду, но синусоида нам не нужна,
ведь мы ищем решение в радикалах. Для этого подходит функция следующего вида:
но точность ее невелика. Добавляем корректирующий множитель и функция обретает вид:
элементарный просчет показывает, что относительная погрешность этой функции равна 0,9%
По сути задача решена, вернуться к исходным переменным позволят подстановки:
Итак, задача решена.
примечание:
обозначим буквой D следующее выражение:
легко доказать, что при
D<0 уравнение имеет три действительных корняD>0 - один корень
D=0 - два корня (здесь один из корней двукратный и в счет не попал)
аналогично можно найти и другие корни.
Этим же методом решаются все трехчленные уравнения произвольной
степени содержащие линейную часть.
я привел пример как решать уравнения в радикалах.
ведь точность приведенного решения легко увеличить.
