Открытые проблемы в теории чисел

SUILVA · Сообщение **SUILVA** » 29 ноя 2012, 16:02

Из wikipedia.org Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения.

$$9(u^2+7v^2)-7(r^2+7s^2)=2$$

Кто – то копировал и вставил. Часто так и делают. Одна знакомая исправила другую тему. Сказала, писали ошибочно. Просто так уравнение не исследуется. Уравнение второго порядка, легко решаемо, такую задачу может предлагать только интересующий с математикой. Мне интересует из чего исходить уравнение. Придумать можно разные задачи, но все же …? Может кто – то прошел через это.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 29 ноя 2012, 17:13

SUILVA писал(а):Source of the post
Из wikipedia.org...

Где точная ссылка?

SUILVA писал(а):Source of the post
...Кто – то копировал и вставил. Часто так и делают. Одна знакомая исправила другую тему. Сказала, писали ошибочно. Просто так уравнение не исследуется. Уравнение второго порядка, легко решаемо, такую задачу может предлагать только интересующий с математикой. Мне интересует из чего исходить уравнение. Придумать можно разные задачи, но все же …? Может кто – то прошел через это.

Трудно написать более бессмысленный текст, перепишите пожалуйста понятно, используя русский язык и логику.

SUILVA · Сообщение **SUILVA** » 29 ноя 2012, 17:24

[url=https://ru.wikipedia.org/wiki/Открытые_проб..._в_теории_чисел]https://ru.wikipedia.org/wiki/Открыт\xD1...ии_чисел[/url]

Диофантовы уравнения

Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения (Yes or no)

$$9(u^2+7v^2)-7(r^2+7s^2)=2$$

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 29 ноя 2012, 19:32

SUILVA писал(а):Source of the post
Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения (Yes or no)

Так это открытыя, еще не решенная проблема теории чисел. Ответ на нее подразумевает доказательство факта о существовании или нет бесконечного числа решений.

SUILVA · Сообщение **SUILVA** » 30 ноя 2012, 05:02

Диофантовы уравнения
Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения.
$$9(u^2+7v^2)-7(r^2+7s^2)=2$$

Данный материал взят из:
[url=https://ru.wikipedia.org/wiki/Открытые_проб..._в_теории_чисел]https://ru.wikipedia.org/wiki/Открыт\xD1...ии_чисел[/url]
Данное диофантова уравнение не может быт открытой проблемой в теории чисел. Данное Диофантова уравнение второго порядка легко решается в области натуральных чисел. Я думаю, уравнение случайным образом попал в данный раздел.
Меня интересует, из какой задачи данное уравнение. Придумать можно разные задачи, но все же …? Может, кто – то, решая некую задачу, дошел до этого уравнения?
Прошу помочь мне! Заранее благодарен.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 30 ноя 2012, 05:47

SUILVA писал(а):Source of the post Данное диофантова уравнение не может быт открытой проблемой в теории чисел. Данное Диофантова уравнение второго порядка легко решается в области натуральных чисел.

А Вы можете его решить? А почему Вы решили, что диофантово уравнение 2-го порядка с произвольным количеством переменных легко решается? :blink:

Андрей А.

Мне это тоже странным показалось, вразумите.
Переписываем $$9(u^2+7v^2)-7(r^2+7s^2)=2$$

как $\frac{(3u)^2-2}{7}-7s^2=r^2-(3v)^2$
При любых $u\equiv 1\ (mod\ 14)$ и $s\equiv 2\ (mod\ 18)$ в правой части имеем нечетное, кратное девяти, т.е. $$[3(p+q+1)]^2-[3(p-q)]^2$$

.
То же при $u\equiv 6\ (mod\ 14)$ и $s\equiv 7\ (mod\ 18)$ , вот пара примеров:
$9(1^2+7\cdot 100^2)-7(297^2+7\cdot 16^2)=2$
$9(20^2+7\cdot 101^2)-7(294^2+7\cdot 29^2)=2$
Решения не пропорциональные, и в чем проблема?

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 03 дек 2012, 07:30

Тааак, я по-прежнему еще не пытался его решать, но само уравнение я нашел в книге Матиясевича 10-я проблема Гильберта, упражнение 2.10. Там написано:

2.10. Покажите, что если уравнение имеет лишь конечное число решений, то существует диофантово отношение, имеющее экспоненциальный рост.

Комментарий: ... на ЭВМ было найдено решение

... Интерес к решению этой задачи связан с т.н. однократными диофантовыми представлениями

В общем, там читать надо.

Т.е. дело не в том, чтобы найти какие-то решения. А в том, чтобы узнать, конечно его множество решений или нет. Если конечно, то это полезно для описанной теории.

Андрей А. писал(а):Source of the post При любых $u\equiv 1\ (mod\ 14)$ и $s\equiv 2\ (mod\ 18)$ в правой части имеем нечетное, кратное девяти, т.е. .
То же при $u\equiv 6\ (mod\ 14)$ и $s\equiv 7\ (mod\ 18)$ , вот пара примеров:
$9(1^2+7\cdot 100^2)-7(297^2+7\cdot 16^2)=2$
$9(20^2+7\cdot 101^2)-7(294^2+7\cdot 29^2)=2$
Решения не пропорциональные, и в чем проблема?

Вы имеете ввиду, что так как справа стоит разность квадратов, то для любых заданных $$u,s$$

число решений будет конечно? Если да, то этого же недостаточно.
Ааа! Т.е. переписываем так, и получаем, что для каждой пары $$(u,s)$$

есть хотя бы одно решение, т.к. уравнение $$A=a^2-b^2$$

всегда имеет решение при $A\not\equiv 2\pmod 4$ ? Число значений левой части, очевидно, бесконечно. И левая часть $\not\equiv 2\pmod 4$ , если $$u,s$$

разной четности. Хе... Ну значит авторы прокололись
Предлагаю Вам на dxdy запостить

Андрей А.

Ааа! Т.е. переписываем так, и получаем, что для каждой пары...

Ну да.

Предлагаю Вам на dxdy запостить

А зубом цикать не будут?

Комментарий: ... на ЭВМ было найдено решение...

Я им буду сдавать по 12 коп. за решение, как стеклотару. Дайте мне куда.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 03 дек 2012, 10:29

Андрей А. писал(а):Source of the post А зубом цикать не будут?

Да вроде не должны

Андрей А. писал(а):Source of the post
Комментарий: ... на ЭВМ было найдено решение...
Я им буду сдавать по 12 коп. за решение, как стеклотару. Дайте мне куда.

yourdomain.com