Открытые проблемы в теории чисел

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 08 дек 2012, 10:10

Блин, я по ходу тупанул. Настоящая формулировка приведена в книге и имеет вид:
$\displaystyle 9(u^2+7v^2)^2-7(r^2+7s^2)^2=2$
Т.е. это диофантово уравнение 4-й степени.
А я ее прочел и даже не осознал :facepalm:
В итоге: мы нашли ошибку в Википедии и исправили ее (я исправил).
Все.

Андрей А.

Sonic86 писал(а):Source of the post
Блин, я по ходу тупанул. Настоящая формулировка приведена в книге и имеет вид:
$\displaystyle 9(u^2+7v^2)^2-7(r^2+7s^2)^2=2$
Т.е. это диофантово уравнение 4-й степени.
А я ее прочел и даже не осознал :facepalm:
В итоге: мы нашли ошибку в Википедии и исправили ее (я исправил).
Все.

Кое что добавлю.
Все решения уравнения $$9x^2-7y^2=2$$

можно выразить последовательностью дробей***
$\frac{1}{1}, \frac{15}{17}, \frac{239}{271}, \frac{3809}{4319}, ...\frac{x_{n+1}=16x_n-x_{n-1}}{y_{n+1}=16y_n-y_{n-1}}$ $$(1)$$

Вопрос сводится к количеству решений, где $$x;y$$

- числа вида $$k^2+7l^2$$

, то есть нечетные, в нечетных степенях канонического разложения которых может быть число $$7$$

и простые вида $$7k+1, 7k+2, 7k+4$$

Назовем это "число вида $$(7)$$

". Произведение таких чисел - тоже число вида $$(7)$$

, поскольку $$(a^2+7b^2)(c^2+7d^2)=(ac+7bd)^2+7(ad-dc)^2$$

. Если количество таких решений конечно, то существует наибольшее. Обозначим его дробью $\frac{p}{q}$ и запишем уравнение
${\tiny9(pz)^2-7(qt)^2=2}$
Вычитая почленно
$$9p^2-7q^2=2$$

получаем

или $\frac{7q^2}{9p^2}=\frac{z^2-1}{t^2-1}$ $$(2)$$

Решения такого уравнения можно получить из разложения $\frac{q\sqrt{7}}{3p}$ в непрерывную дробь, и записываются они в виде, аналогичном поледовательности $$(1)$$

. В частности сама последовательность $$(1)$$

является решением уравнения $\frac{7}{9}=\frac{x^2-1}{y^2-1}$ . Если первоначальное предположение верно, то в последовательности $$(2)$$

не может быть ни одного решения вида $$(7)$$

(ну, кроме $\frac{1}{1}$ ).
Это удивительно. Среди первых пятидесяти нечетных - таких чисел $\approx 28\%$ .

***Можно еще так:
для $a_n=\frac{(8+3\sqrt{7})^n-(8-3\sqrt{7})^n}{6\sqrt{7}}\approx \frac{(8+3\sqrt{7})^n}{6\sqrt{7}}=0,1,16,255,...$
$9(a_n-a_{n-1})^2-7(a_n+a_{n-1})^2=2$

Исправлено 12.12.2012

piven · Сообщение **piven** » 22 сен 2016, 18:03

Свойства чисел на числовой оси

Всякое положительное число и 0 больше любого отрицательного числа.
Всякое положительное число больше 0. Всякое отрицательное число меньше 0.
Всякое отрицательное число меньше положительного числа. Положительное или отрицательное число, стоящее правее, больше положительного или отрицательного числа, стоящего левее на числовой оси.

Определение. Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными.
Например, числа 2 и -2, 6 и -6. -10 и 10. Противоположные числа расположены на числовой оси в противоположных направлениях от точки О, но на одинаковом расстоянии от нее.
Дробные числа, представляющие собой в записи обыкновенную или десятичную дробь, подчиняются тем же правилам на числовой оси, что и целые числа. Из двух дробей больше та, которая стоит на числовой оси правее; отрицательные дроби меньше положительных дробей; всякая положительная дробь больше 0; всякая отрицательная дробь меньше 0."
«Свойства чисел на числовой оси.
Всякое положительное число и 0 больше любого отрицательного числа».
Здесь БОЛЬШАЯ ОШИБКА:
(0) не является числом, ибо нейтральная (1) внутри 0 работает не частным-числом, +а делителем. Делимое (+5м):(1)=(+5м)
(+5м)=(-5м), ибо эти числа ПРОТИВОПОЛОЖНЫ.
22.9.2016г. Пивень Григорий-автор «Новых основ математики».

yourdomain.com