yourdomain.com

$\sum_{k=1}^{n}{n \choose k} = (1+1) ^ n$
$\sum_{k=1}^{n}{ ( -1 )^{k} {n \choose k}} = (1-1) ^ n =0$
$\sum_{k=1}^{n}{ {n \choose 2*k}} = 2 ^ {n-1}$

$\sum_{k=1}^{n}{ {n \choose 4*k}} = ?$
Исходя из верхних выражений, вычеслить сумму биноминиальных коэффициентов (естественно не исползовать формулу числа сочетаний). Как это сделать?

P.S. как набрать сочетания, которые не американизмы?

Не "американизм" - C_n^k - $$C_n^k$$

.
Кстати, везде $k\geqslant 0$ .

Искомую сумму попробуйте построить как линейную комбинацию имеющихся.

А хотя нет, не получится, 2-я сумма - линейная комбинаций 1-й и 3-й. А у 1-й и 3-й коэффициент 2, а не 4.
Значит надо явно считать

Можно брать ПФ $(1+x)^k=\sum\limits_{k\geqslant 0}\binom{n}{k}x^k$ . Берем такие суммы по классам вычетов по модулю $$m$$

$\sum\limits_{k\geqslant 0}\left(a_0\binom{n}{mk+0}+...+a_{m-1}\binom{n}{mk+m-1}\right)x^k$ . Каждая сумма задается вектором $(a_0,...,a_m)\in\mathbb{R}^m$ , размер базиса - $$m$$

. Функции $(1+\zeta^r x)^n$ для $\zeta:\zeta ^m=1, r=0,...,m-1$ линейно независимы и их всего $$m$$

. Значит они - базис, значит через них строятся все такие суммы и вычисляются явно.
В частности, получим и ответ (он простой, потому писать не буду)

$C_n^0 C_n^1 C_n^2 C_n^3 C_n^4 C_n^5 \\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1 \\ 1\ -1\ 1\ -1\ 1\ -1\\ 1\ i \ -1 \ -i \ 1 \ i \\ 1\ -i\ -1\ i\ 1 \ -i$
все идет в одну вертикаль для каждого C_n^k
Преподаватель сказал , что эта штука должна помоч , но что это и как она помогаем ?

UPD
$(1+x)^k=\sum\limits_{k\geqslant 0}\binom{n}{k}x^k$
эта штука давалась тоже, что такое ПФ ?

Берем такие суммы по классам вычетов по модулю $$m$$

$\sum\limits_{k\geqslant 0}\left(a_0\binom{n}{mk+0}+...+a_{m-1}\binom{n}{mk+m-1}\right)x^k$ . Каждая сумма задается вектором $(a_0,...,a_m)\in\mathbb{R}^m$ , размер базиса - $$m$$

. Функции $(1+\zeta^r x)^n$ для $\zeta:\zeta ^m=1, r=0,...,m-1$ линейно независимы и их всего $$m$$

я не понимаю что это?

ПФ - это сокращение для термина "производящая функция"

Преподаватель сказал , что эта штука должна помоч , но что это и как она помогаем ?

Вы комбинировать степенные ряды умеете? Это последовательности коэффициентов функций $$(1+i^rx)^n$$

. Скомбинируйте из них искомую сумму.

Sonic86 писал(а):Source of the post
ПФ - это сокращение для термина "производящая функция"

Преподаватель сказал , что эта штука должна помоч , но что это и как она помогаем ?
Вы комбинировать степенные ряды умеете? Это последовательности коэффициентов функций . Скомбинируйте из них искомую сумму.

Он сказал , что это часть про комплексные числа и все.
комбинировать степенные ряды - впервые слышу.

tennisru писал(а):Source of the post комбинировать степенные ряды - впервые слышу.

"Комбинировать" здесь не термин. Имелось ввиду, что ПФ можно складывать, перемножать, делить и т.п., при этом их последовательности коэффициентов тоже преобразуются. Например, если $$f(x)$$

- ПФ для

, а

- ПФ для

, то

- ПФ для

. И т.п.

можете пожайлуста расписать как это делается?

1. Проверьте, что в сумму $\frac 14((1+x)^n+(1-x)^n+(1+ix)^n+(1-ix)^n)$ входят только те степени х, которые кратны 4 причем с нужными Вам коэффициентами $C^{4k}_n$ .
2. Возьмите х=1 будет значение Вашей суммы, упростите, чтоб i не входило явно в нее, т.к она действительна по определению

yourdomain.com

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний

сумма число сочетаний