Отношение двух многочленов

Vector · Сообщение **Vector** » 28 янв 2012, 16:59

Если отношение двух многочленов
$\frac {1-\alpha_1x-\alpha_2x^2-...-\alpha_mx^m} {1-\beta_1x-\beta_2x^2-...-\beta_mx^m}=c;\ \ \ \alpha_k, \ \beta_k, c \in \mathbb{R}$ ,
можно ли что-нибудь сказать про соотношение корней этих многочленов? Такое возможно только когда числитель и знаменатель - один и тот же многочлен с кратными коэффициентами или не только?

Спасибо!

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 28 янв 2012, 17:06

Vector писал(а):Source of the post
Если отношение двух многочленов одного порядка - вещественное число
$\frac {1-\alpha_1x-\alpha_2x^2-...-\alpha_mx^m} {1-\beta_1x-\beta_2x^2-...-\beta_mx^m}=c;\ \ \ \alpha_k, \ \beta_k, c \in \mathbb{R}$ ,
можно ли что-нибудь сказать про соотношение корней этих многочленов?

Спасибо!

$$1-\alpha_1x-\alpha_2x^2-...-\alpha_mx^m=ñ(1-\beta_1x-\beta_2x^2-...-\beta_mx^m)$$
Слева свободный член - 1, справа - с, значит $$c=1$$

, и это равные многочлены)
Даже если б свободные члены не были б единицами, то , просто напросто, $a_k=c\cdot b_k$ , то есть первый многочлен - это второй домноженный на константу, а значат корни идентичны.

Vector · Сообщение **Vector** » 28 янв 2012, 17:30

Наверное спросил, глупость. Задача такая, есть два операторных полинома

$P1_m(x) = 1-\alpha_1x-\alpha_2x^2-...-\alpha_mx^m$ и $P2_m(x) = 1-\beta_1x-\beta_2x^2-...-\beta_mx^m;$

Если A - матрица линейного оператора $$dim A=nxn$$

, то известно, что выполняется равенство

$$ñ_2P1_m(A)P1_m(A^T)=ñ_1P2_m(A)P2_m(A^T), \ \ c_1, c_2 \in \mathbb{R}, \ ñ_1, ñ_2 >0$$,

Для этого случая, по расчетам в мат. пакете, получается, что каждый корень полинома $$P2_m$$

либо равен какому-либо корню полинома $$P1_m$$

либо равен числу, обратному тому корню. Вот сижу гадаю, что это такое может быть.

Vector · Сообщение **Vector** » 28 янв 2012, 18:18

Похоже тут правильно рассмотреть такое соотношение,

$c_2^2P_2^{-1}(x)P_1(x)=c_1^2P_2(x)P_1^{-1}(x)$ ,

что можно записать как,

$\frac {1-\alpha_1x-\alpha_2x^2-...-\alpha_mx^m} {1-\beta_1x-\beta_2x^2-...-\beta_mx^m}=c\frac {1-\beta_1x-\beta_2x^2-...-\beta_mx^m} {1-\alpha_1x-\alpha_2x^2-...-\alpha_mx^m}$ .

Следует ли из этого равенства, что корни у полинома $$P_2$$

либо такие же как у полинома $$P_1$$

, либо любое количество корней в $$P_2$$

равно величинам, обратным корням полинома $$P_1$$

? Здесь c - любое ненулевое вещественное число, зависящая от альф и бет, чтобы удовлетворить равенство при фиксированных альфах.

yourdomain.com