Дана коммутативная диаграмма
![$$R$$ $$R$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24R%24%24)
-модулей:
![$$\xymatrix{A\ar[r]^{\varphi}\ar[d]^{\tau}&B\ar[r]^{\xi}\ar[d]^{\alpha}&C\ar[r]^{\psi}\ar[d]^{\beta}&D\ar[d]^{\nu}\\A'\ar[r]^{\varphi '}&B'\ar[r]^{\eta}&C'\ar[r]^{\psi '}&D'}$$ $$\xymatrix{A\ar[r]^{\varphi}\ar[d]^{\tau}&B\ar[r]^{\xi}\ar[d]^{\alpha}&C\ar[r]^{\psi}\ar[d]^{\beta}&D\ar[d]^{\nu}\\A'\ar[r]^{\varphi '}&B'\ar[r]^{\eta}&C'\ar[r]^{\psi '}&D'}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cxymatrix%7BA%5Car%5Br%5D%5E%7B%5Cvarphi%7D%5Car%5Bd%5D%5E%7B%5Ctau%7D%26B%5Car%5Br%5D%5E%7B%5Cxi%7D%5Car%5Bd%5D%5E%7B%5Calpha%7D%26C%5Car%5Br%5D%5E%7B%5Cpsi%7D%5Car%5Bd%5D%5E%7B%5Cbeta%7D%26D%5Car%5Bd%5D%5E%7B%5Cnu%7D%5C%5CA%26%2339%3B%5Car%5Br%5D%5E%7B%5Cvarphi%20%26%2339%3B%7D%26B%26%2339%3B%5Car%5Br%5D%5E%7B%5Ceta%7D%26C%26%2339%3B%5Car%5Br%5D%5E%7B%5Cpsi%20%26%2339%3B%7D%26D%26%2339%3B%7D%24%24)
в которой строки- точны, а
![$$\tau$$ $$\tau$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ctau%24%24)
- эпиморфизм,
![$$\nu$$ $$\nu$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cnu%24%24)
- мономорфизм. Требуется доказать, что
![$$\operatorname{Im}\alpha=\eta^{-1}(\operatorname{Im}\beta)$$ $$\operatorname{Im}\alpha=\eta^{-1}(\operatorname{Im}\beta)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Coperatorname%7BIm%7D%5Calpha%3D%5Ceta%5E%7B-1%7D%28%5Coperatorname%7BIm%7D%5Cbeta%29%24%24)
.
Пусть
![$$b'\in\operatorname{Im}\alpha$$ $$b'\in\operatorname{Im}\alpha$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24b%26%2339%3B%5Cin%5Coperatorname%7BIm%7D%5Calpha%24%24)
, значит в силу коммутативности
![$$\eta\alpha b=\beta\xi b\Rightarrow \eta b'\subset\operatorname{Im}\beta\Rightarrow b'\in\eta^{-1}\operatorname{Im}\beta$$ $$\eta\alpha b=\beta\xi b\Rightarrow \eta b'\subset\operatorname{Im}\beta\Rightarrow b'\in\eta^{-1}\operatorname{Im}\beta$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ceta%5Calpha%20b%3D%5Cbeta%5Cxi%20b%5CRightarrow%20%5Ceta%20b%26%2339%3B%5Csubset%5Coperatorname%7BIm%7D%5Cbeta%5CRightarrow%20b%26%2339%3B%5Cin%5Ceta%5E%7B-1%7D%5Coperatorname%7BIm%7D%5Cbeta%24%24)
. А вот обратное вложение доказать не получается. Рассуждал так:
![$$b'\in\eta^{-1}\operatorname{Im}\beta\Rightarrow\eta b'=\beta c $$ $$b'\in\eta^{-1}\operatorname{Im}\beta\Rightarrow\eta b'=\beta c $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24b%26%2339%3B%5Cin%5Ceta%5E%7B-1%7D%5Coperatorname%7BIm%7D%5Cbeta%5CRightarrow%5Ceta%20b%26%2339%3B%3D%5Cbeta%20c%20%24%24)
. В силу точности в
![$$C'$$ $$C'$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C%26%2339%3B%24%24)
имеем
![$$\psi '\eta b'=\psi '\beta c=\nu\psi c=0$$ $$\psi '\eta b'=\psi '\beta c=\nu\psi c=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cpsi%20%26%2339%3B%5Ceta%20b%26%2339%3B%3D%5Cpsi%20%26%2339%3B%5Cbeta%20c%3D%5Cnu%5Cpsi%20c%3D0%24%24)
, т.к
![$$\nu$$ $$\nu$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cnu%24%24)
- мономорфизм, то
![$$\psi c=0$$ $$\psi c=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cpsi%20c%3D0%24%24)
, а в силу точности в
![$$\eta b'=\eta\alpha b$$ $$\eta b'=\eta\alpha b$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ceta%20b%26%2339%3B%3D%5Ceta%5Calpha%20b%24%24)
, теперь пусть
![$$\alpha b=b''$$ $$\alpha b=b''$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Calpha%20b%3Db%26%2339%3B%26%2339%3B%24%24)
, тогда
![$$b'-b''\in\operatorname{Ker}\eta$$ $$b'-b''\in\operatorname{Ker}\eta$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24b%26%2339%3B-b%26%2339%3B%26%2339%3B%5Cin%5Coperatorname%7BKer%7D%5Ceta%24%24)
, т.е.
![$$\varphi '\tau a=\alpha\varphi a=b'-b''$$ $$\varphi '\tau a=\alpha\varphi a=b'-b''$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cvarphi%20%26%2339%3B%5Ctau%20a%3D%5Calpha%5Cvarphi%20a%3Db%26%2339%3B-b%26%2339%3B%26%2339%3B%24%24)
, а дальше ступор. Не получается доказать равенство нулю
![$$b'-b''$$ $$b'-b''$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24b%26%2339%3B-b%26%2339%3B%26%2339%3B%24%24)
, может ядро какого-нибудь гомоморфизма вкладывается
![$$\operatorname{Ker}\alpha$$ $$\operatorname{Ker}\alpha$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Coperatorname%7BKer%7D%5Calpha%24%24)
? Пытался доказать, что
![$$\operatorname{Ker}\xi\subset\operatorname{Ker}\alpha$$ $$\operatorname{Ker}\xi\subset\operatorname{Ker}\alpha$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Coperatorname%7BKer%7D%5Cxi%5Csubset%5Coperatorname%7BKer%7D%5Calpha%24%24)
, но не вышло.
Последний раз редактировалось
JeffLebovski 28 ноя 2019, 17:55, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test