Страница 1 из 5
Задача с натуральными числами
Добавлено: 11 янв 2012, 10:45
maxandreev
Добрый день. Подскажите, пожалуйста, идею решения такой задачи.
Не очень понятно, с чего начать...
![Изображение](http://e-science.ru/sites/default/files/upload_forums_files/kb/y_d75d0286.jpg)
Задача с натуральными числами
Добавлено: 11 янв 2012, 13:53
Hottabych
Надо посчитать число квадратичных вычетов по модулю 561 и воспользоваться принципом Дирихле.
Задача с натуральными числами
Добавлено: 11 янв 2012, 20:53
vicvolf
Разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы на разность. Минимальным натуральным числом, при котором среди n натуральных чисел найдутся два, сумма которых делится на 581 будет 281 (280+281=581). При n<281 таких двух натуральных чисел нет.
Задача с натуральными числами
Добавлено: 12 янв 2012, 13:48
астрон
vicvolf писал(а):Source of the post Разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы на разность. Минимальным натуральным числом, при котором среди n натуральных чисел найдутся два, сумма которых делится на 581 будет 281 (280+281=581). При n<281 таких двух натуральных чисел нет.
а как доказать, что при n=281 условие задачи выполняется (если например брать пятое по счёту нат. число начиная с 19, или ещё как-нибудь произвольно выбирать 281-о натуральное число)?
Задача с натуральными числами
Добавлено: 12 янв 2012, 13:55
vicvolf
астрон писал(а):Source of the post а как доказать, что при n=281 условие задачи выполняется (если например брать пятое по счёту нат. число начиная с 19, или ещё как-нибудь произвольно выбирать 281-о натуральное число)?
Не требуется для любого n, а требуется найти пару чмсел среди n. В данном случае пара 280 и 281
Задача с натуральными числами
Добавлено: 12 янв 2012, 14:03
астрон
Не требуется для любого n, а требуется найти пару чмсел среди n
.. среди "любого набора" n(281) натуральных чисел, т.е. числа 281 там может и не оказаться
Задача с натуральными числами
Добавлено: 12 янв 2012, 14:15
bas0514
vicvolf писал(а):Source of the post Разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы на разность. Минимальным натуральным числом, при котором среди n натуральных чисел найдутся два,
сумма которых делится на 581 ...
В условии 561.
Почему сумма должна делиться на 561? Это число не простое. Например, сумма может делиться на 51, а разность на 11.
Задача с натуральными числами
Добавлено: 12 янв 2012, 14:28
астрон
наименьшая пара натуральных чисел, разность квадратов которых делится на 561, будет пара 31 и 20. Из этого можно сделать вывод, что искомое число n не меньше 31
Задача с натуральными числами
Добавлено: 12 янв 2012, 15:10
астрон
и вообще, для произвольного набора n натуральных чисел, задача решения не имеет, потому что, числу
![$$a=\frac {51k+11} {2}$$ $$a=\frac {51k+11} {2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3D%5Cfrac%20%7B51k%2B11%7D%20%7B2%7D%24%24)
в качестве пары нужно сопоставить число
$$è=\frac {51k-11} {2}$$, которого в произвольном наборе чисел может не оказаться
Задача с натуральными числами
Добавлено: 12 янв 2012, 15:34
VAL
Идею изложил
Hottabych.
Чуть подробнее так:
Если
![$$p$$ $$p$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%24%24)
- нечетное простое число, то по модулю
![$$p$$ $$p$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%24%24)
, очевидно, будет
![$$\frac{p+1}2$$ $$\frac{p+1}2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7Bp%2B1%7D2%24%24)
квадратов.
Если
![$$GCD(a,b)=1$$ $$GCD(a,b)=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24GCD%28a%2Cb%29%3D1%24%24)
, то число является квадратом по модулю
![$$ab$$ $$ab$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24ab%24%24)
тогда и только тогда, когда оно будет квадратом по модулям
![$$a$$ $$a$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%24%24)
и
![$$b$$ $$b$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24b%24%24)
.
Поэтому 109 чисел за глаза хватит.