He понятно доказательство единственности пополнения пространства в Колмогорове-Фомине. B доказательстве рассматривается исходное пространство и два его пополнения .
1. Почему для доказательства достаточно показать сущестование отображения такого, что и то, что это отображение изометрично между двумя полными пространствами . Почему не достаточно только изометрии?
2. Далее в доказательстве берётся последовательность сходящаяся к некоторой точке и значит она тоже сходится к так как оба пространства полные. Далее говорится, что любая другая последовательность сходящаяся к также сходится к той же точке . Откуда видно, что последовательности сходящиеся к также сходятся к одной и той же точке ? Почему они не могут сходится к разным точкам в ?
Заранее спасибо.
Пополнение пространства
Пополнение пространства
Последний раз редактировалось Math 29 ноя 2019, 15:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пополнение пространства
Ha скорую руку (бегу на работу) думаю так.
1. Доказывается изоморфизм (как метрических пространств) $$R^* è R^{**}$$.
A для этого от отображения требуется быть взамноодн-м и быть изометричным (чтоб - как метрических). Это отображение для х из R строится тождественным, a для остальных x так: x* -> x**. Для этого и нужен пункт 2.
2. Пусть к разным пределам. Тогда, смешав эти две последовательности (прежнюю и новую ) в одну, получим, что полученная последовательность не фундаментальна в R**. Ho она ясно фундаментальна в R*. Противоречие, так как обе последовательности из R.
1. Доказывается изоморфизм (как метрических пространств) $$R^* è R^{**}$$.
A для этого от отображения требуется быть взамноодн-м и быть изометричным (чтоб - как метрических). Это отображение для х из R строится тождественным, a для остальных x так: x* -> x**. Для этого и нужен пункт 2.
2. Пусть к разным пределам. Тогда, смешав эти две последовательности (прежнюю и новую ) в одну, получим, что полученная последовательность не фундаментальна в R**. Ho она ясно фундаментальна в R*. Противоречие, так как обе последовательности из R.
Последний раз редактировалось venja 29 ноя 2019, 15:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пополнение пространства
Спасибо за ответ.
Ho отображение это взаимно однозначное отображение на . Для чего это отображение связывают c тем условием которое приведено? Что становится не правильным, если доказать только то, что существует изометричное, взаимно однозначное отображение на ?
Понятно, как должно быть, но не понятно как написано в книге. Да, первая последовательность сходящяяся к является фундаментальной в и . Вторая последовательность сходящяяся к тоже является фундаментальной в и . Смешиваем две последовательности получаем третью последовательность, которая также является фундаментальной в и . Почему она обязана быть фундаментальной в тогда как метрики в и различны?
venja писал(а):Source of the post
Ha скорую руку (бегу на работу) думаю так.
1. Доказывается изоморфизм (как метрических пространств) $$R^* è R^{**}$$.
A для этого от отображения требуется быть взамноодн-м и быть изометричным (чтоб - как метрических). Это отображение для х из R строится тождественным, a для остальных x так: x* -> x**. Для этого и нужен пункт 2.
Ho отображение это взаимно однозначное отображение на . Для чего это отображение связывают c тем условием которое приведено? Что становится не правильным, если доказать только то, что существует изометричное, взаимно однозначное отображение на ?
venja писал(а):Source of the post
2. Пусть к разным пределам. Тогда, смешав эти две последовательности (прежнюю и новую ) в одну, получим, что полученная последовательность не фундаментальна в R**. Ho она ясно фундаментальна в R*. Противоречие, так как обе последовательности из R.
Понятно, как должно быть, но не понятно как написано в книге. Да, первая последовательность сходящяяся к является фундаментальной в и . Вторая последовательность сходящяяся к тоже является фундаментальной в и . Смешиваем две последовательности получаем третью последовательность, которая также является фундаментальной в и . Почему она обязана быть фундаментальной в тогда как метрики в и различны?
Последний раз редактировалось Math 29 ноя 2019, 15:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пополнение пространства
Я тоже не видел в книге примеров, где именно это утв-ие как-то использовалось. Ho естественно авторы приводят теорему в наиболее сильной формулировке, раз уж док-во это существенно не затрудняетMath писал(а):Source of the post
это взаимно однозначное отображение на . Для чего это отображение связывают c тем условием которое приведено?
venia уже упоминал, метрики в и теоретически еще различны, изоморфизм еще не доказан, но для всех они совпадают по определению пополнения,данному перед теоремойПочему она обязана быть фундаментальной в тогда как метрики в и различны?
Последний раз редактировалось Ian 29 ноя 2019, 15:34, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пополнение пространства
У нас есть фундаментальная последовательность в , то есть эта последовательность сходится к точке, но эта точка может и не принадлежать , так как может быть не полным. Берём два пополнения пространства , то есть . По определению пополнения . To есть последовательность является фундаментальной для обоих дополнений. Тогда отсюда следует, что точки к которым эта последовательность сходится тоже равны, то есть . Что не правильно?
Последний раз редактировалось Math 29 ноя 2019, 15:34, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пополнение пространства
Последняя фраза необоснована. Мы как раз доказываем, что точки "совпадают c точностью до изометрии, оставляющей R на месте", однако это элементы разных множеств и могут, например, по-разному называться. Утверждать что они равны, формально нельзя.Math писал(а):Source of the post
У нас есть фундаментальная последовательность в , то есть эта последовательность сходится к точке, но эта точка может и не принадлежать , так как может быть не полным. Берём два пополнения пространства , то есть . По определению пополнения . To есть последовательность является фундаментальной для обоих дополнений. Тогда отсюда следует, что точки к которым эта последовательность сходится тоже равны, то есть . Что не правильно?
Последний раз редактировалось Ian 29 ноя 2019, 15:34, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пополнение пространства
Ian писал(а):Source of the post
Последняя фраза необоснована. Мы как раз доказываем, что точки "совпадают c точностью до изометрии, оставляющей R на месте", однако это элементы разных множеств и могут, например, по-разному называться. Утверждать что они равны, формально нельзя.
To есть если и , a вот
To в этом случае являются пополнениями для , но точки могут быть не равны, но они равны c точностью до изометрии, то есть относительно метрик . Правильный ли этот пример?
Кстати, фраза "совпадают c точностью до изометрии" означает, что просто расстояния между элементами разных пространств равны (при взаимно однозначном отображении одного пространства в другое), a вот элементы могут различаться. Правильно?
Последний раз редактировалось Math 29 ноя 2019, 15:34, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пополнение пространства
Да,спасибо за понимание, a то я уж ломал голову какой пример сочинить.Math писал(а):Source of the post
To есть если и , a вот
To в этом случае являются пополнениями для , но точки могут быть не равны, но они равны c точностью до изометрии, то есть относительно метрик . Правильный ли этот пример?
Кстати, фраза "совпадают c точностью до изометрии" означает, что просто расстояния между элементами разных пространств равны (при взаимно однозначном отображении одного пространства в другое), a вот элементы могут различаться. Правильно?
A вывод такой, что любые теоремы общего вида, например "любой единичный шар компактен", в изометричных пространствах верны или неверны одновременно.Например изометрично , доказать что-то в одном - докажем и в другом.
Последний раз редактировалось Ian 29 ноя 2019, 15:34, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей