Доказательство неравенства Коши-Буняковского

Vector · Сообщение **Vector** » 16 сен 2010, 19:51

Объясните пожалуйста, почему в доказательстве рассматривается неравенство 0<= (tx+y, tx+y) или (x-ty)^2>=0, которое везде называют очевидным.

wiki

jmhan · Сообщение **jmhan** » 16 сен 2010, 19:55

Vector писал(а):Source of the post
Объясните пожалуйста, почему в доказательстве рассматривается неравенство 0<= (tx+y, tx+y) или (x-ty)^2>=0, которое везде называют очевидным.

wiki

Квадрат любого действительного числа $\geq 0$

Vector · Сообщение **Vector** » 16 сен 2010, 20:00

jmhan писал(а):Source of the post
Vector писал(а):Source of the post
Объясните пожалуйста, почему в доказательстве рассматривается неравенство 0<= (tx+y, tx+y) или (x-ty)^2>=0, которое везде называют очевидным.

wiki

Квадрат любого действительного числа $\geq 0$

Это понятно :rolleyes:, как переход от исходного неравенства xy <= |x||y| происходит?

jmhan · Сообщение **jmhan** » 16 сен 2010, 20:05

Vector писал(а):Source of the post
Это понятно :rolleyes:, как переход от исходного неравенства xy <= |x||y| происходит?

Да точно также, если оба числа положительные или отрицательные, то $$xy=|x||y|$$

, если числа имеют разные знаки, то заведомо $$xy<|x||y|$$

Vector · Сообщение **Vector** » 16 сен 2010, 20:08

jmhan писал(а):Source of the post
Vector писал(а):Source of the post
Это понятно :rolleyes:, как переход от исходного неравенства xy <= |x||y| происходит?

Да точно также, если оба числа положительные или отрицательные, то , если числа имеют разные знаки, то заведомо

A как c углом быть? Если так рассуждать, то вообще не нужно ничего доказывать, но x и y - вектора.

jmhan · Сообщение **jmhan** » 16 сен 2010, 20:19

Vector писал(а):Source of the post
A как c углом быть? Если так рассуждать, то вообще не нужно ничего доказывать, но x и y - вектора.

Ну так про это там же сказано (извините, не сразу обратил внимание на "векторность"): скалярное произведение всегда меньше или равно произведению норм, равенство достигается только когда вектора коллинеарны.

Vector · Сообщение **Vector** » 16 сен 2010, 20:25

jmhan писал(а):Source of the post
Vector писал(а):Source of the post
A как c углом быть? Если так рассуждать, то вообще не нужно ничего доказывать, но x и y - вектора.

Ну так про это там же сказано (извините, не сразу обратил внимание на "векторность"): скалярное произведение всегда меньше или равно произведению норм, равенство достигается только когда вектора коллинеарны.

Коллинеарны или компланарны - это все для R^3. Для R^3 ничего доказывать не нужно, т.к. xy = |x||y|cos(x,y) и косинус как известно больше единицы бывает редко. Для многомерного случая мне не очевидно почему рассматриваются данные равенства.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 16 сен 2010, 20:32

Vector, насколько мне помнится, для n-мерного Евклидового пространства сначала вводится понятие скалярного произведения, a затем понятие угла между векторами, косинус которого выражается через отношение скалярного произведения векторов к произведению их длин. Так что случай $$R^3$$

ничем не отличается от $$R^n$$

.

Vector · Сообщение **Vector** » 16 сен 2010, 20:35

cupuyc писал(а):Source of the post
Vector, насколько мне помнится, для n-мерного Евклидового пространства сначала вводится понятие скалярного произведения, a затем понятие угла между векторами, косинус которого выражается через отношение скалярного произведения векторов к произведению их длин. Так что случай ничем не отличается от .

Вот именно это и вводится c помощью неравенства Коши-Буняковского, которое доказывается через то неравенство. Если без неравенства Коши-Буняковского для многомерного случая, то не очевидно, что косинус <=1

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 16 сен 2010, 20:41

Vector, так a в чём проблема? Есть исходное определение: скалярное произведение векторов. Нужно доказать, что $\frac{|\sum_{i=1}^{n}{x_i y_i}|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x_i x_i} \sum_{i=1}^{n}{y_i y_i}}} <= 1$

yourdomain.com