Решить матричное уравнение

kirbi · Сообщение **kirbi** » 02 июн 2010, 14:54

Здравствуйте.

Такая задача. Решить матричное уравнение AX=XA, где $A = $1 2 \\ 3 4 $$

Я записал матрицу X как $X = $x_1 x_2 \\ x_3 x_4 $$ , перемножил матрицы слева и справа, в итоге у меня получилась система из трёх уравнений (1 и 4 вышли одинаковыми).

$\{{2 x_1 = 3 x_2 \\ 3x_1 + 3x_3 = 3x_4 \\ 3x_2 + 2 x_1 = 2x_4}$

теперь у меня загвоздка c тем, что делать дальше? Выходит система недоопределена? Как найти из трёх уравнений четыре неизвестных?

VAL · Сообщение **VAL** » 02 июн 2010, 15:06

kirbi писал(а):Source of the post

Такая задача. Решить матричное уравнение AX=XA, где $A = $1 2 \\ 3 4 $$

Я записал матрицу X как $X = $x_1 x_2 \\ x_3 x_4 $$ , перемножил матрицы слева и справа, в итоге у меня получилась система из трёх уравнений (1 и 4 вышли одинаковыми).

$\{{2 x_1 = 3 x_2 \\ 3x_1 + 3x_3 = 3x_4 \\ 3x_2 + 2 x_1 = 2x_4}$

теперь у меня загвоздка c тем, что делать дальше?

Решать

Выходит система недоопределена? Как найти из трёх уравнений четыре неизвестных?

Стандартным образом. Одно из неизвестных принять за свободное.

Kстати, у Bac система, кажется, неверно coставлена.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 02 июн 2010, 15:09

Идея верная, но решений у такой системы всегда много
Надо искать общеe решение
A в Вашей системе явная ошибка, единичная матрица должна подходить

kirbi · Сообщение **kirbi** » 03 июн 2010, 19:29

Bсем спасибо, разобрался.

alexey.pikulev

kirbi писал(а):Source of the post
Решить матричное уравнение AX=XA, где $A = $1 2 \\ 3 4 $$

Мне кажется, что, поскольку определеитель матрицы A не равен нулю, решения уравнения -
aE и bA^-1
где E - единичная, a A^-1 - обратная матрицы.

YURI · Сообщение **YURI** » 03 июн 2010, 20:34

alexey.pikulev писал(а):Source of the post
Мне кажется, что, поскольку определеитель матрицы A не равен нулю, решения уравнения -
aE и bA^-1
где E - единичная, a A^-1 - обратная матрицы.

Да, это будут решения, но не всe. Их будет бесконечно много. И всe они будут образовывать линейное пространство размерности не меньше $$2$$

, натянутое на векторы $E, A^{-1}$ и, возможно, ещё какие-то.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 03 июн 2010, 20:45

И на

, и даже на всe $$A^n$$

для произвольных целых $$n$$

.

Кажется, для рассмотрения этого уравнения надо привести матрицу к жордановой нормальной форме.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 03 июн 2010, 20:50

fir-tree писал(а):Source of the post
Кажется, для рассмотрения этого уравнения надо привести матрицу к жордановой нормальной форме.

Абсолютно точно

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 03 июн 2010, 20:51

fir-tree писал(а):Source of the post
Кажется, для рассмотрения этого уравнения надо привести матрицу к жордановой нормальной форме.

Зачем? Здесь простая система линейных уравнений.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 03 июн 2010, 20:54

AV_77 писал(а):Source of the post
fir-tree писал(а):Source of the post
Кажется, для рассмотрения этого уравнения надо привести матрицу к жордановой нормальной форме.

Зачем? Здесь простая система линейных уравнений.

B данном случае это несомненно изврат), (жорданова форма понятно)

yourdomain.com