Факторизация оторажения

RaDoors · Сообщение **RaDoors** » 10 апр 2010, 15:30

Здравствуйте!
He могу понять всегда ли верна теорема o факторизации(разложения) отображения, ведь в случае инъекции это не очевидно, т.к. если х и у принадлежат одному классу эквивалентности,то при разложении они отобразятся в один элемент, что противоречит инъективному отображению, или я ошибаюсь?
Зарание спасибо

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 10 апр 2010, 16:36

RaDoors писал(а):Source of the post
Здравствуйте!
He могу понять всегда ли верна теорема o факторизации(разложения) отображения, ведь в случае инъекции это не очевидно, т.к. если х и у принадлежат одному классу эквивалентности,то при разложении они отобразятся в один элемент, что противоречит инъективному отображению, или я ошибаюсь?
Зарание спасибо

Здесь все просто. Пусть $$A$$

,

- два множества, $f :A \to B$ - отображение.
1. Отображение $$f$$

определяет на $$A$$

отношение эквивалентности $\alpha$ следующим образом: $x \alpha y \Leftrightarrow f(x) = f(y)$ . Рассмотрим теперь фактормножество $A / \alpha$ , класс эквивалентности, содержащий $x \in A$ , будем обозначать через $\bar x$ . Мы можем определить отображение $$f_1$$

, положив $f_1(x) = \bar x$ . Тогда $$f_1$$

является сюръективным.

2. Теперь определим отображение $f_2 : A / \alpha \to f(A)$ , положив $f_2(\bar x) = f (x)$ . Отображение $$f_2$$

является инъективным, так как из равенства $f_2(\bar x) = f_2(\bar y)$ следует, по определению $$f_2$$

, что

, то тогда, по определению $\alpha$ , получаем $\bar x = \bar y$ . Кроме того, это отображение является сюръективным, то есть $$f_2$$

- биекция.

3. Наконец определим отображение $f_3 : f(A) \to B$ положив просто $$f_3(x) = x$$

для любого $x \in f(A)$ . Это отображение является инъективным.

B результате мы получили разложение отображения $$f$$

в композицию сюръективного, биективного и инъективного отображений: $$f = f_3 f_2 f_1$$

, что можно записать следующим образом:
$A \stackrel{f_1}{\to} A / \alpha \stackrel{f_2}{\to} f(A) \stackrel{f_3}{\to} B$ .

RaDoors · Сообщение **RaDoors** » 10 апр 2010, 16:59

C этим я не спорю, но ведь f₁ сюръективна, т.e. у разных эквивалентных элементов отображение f₂ совпадает, т.e. если f - инъективное отображение, то происходит следущее:
$x \sim y$ , то $f(x) \sim f(y)$ , в то время как f₂(f₁(x))=f₂(f₁(y)) в силу равества f ₁ (х) = f ₁ (y)
или я чего-то не понимаю?

RaDoors · Сообщение **RaDoors** » 10 апр 2010, 18:37

все, большое спасибо! вопрос снят!
т.к. я совсем забыл,да и невнимательно прочитал, что если $x \sim y$ , то по определению f(x)=f(y)

yourdomain.com