Деление отрезка L на равные части

Георгий

Предлагаю мою задачу, которую никак не могу решить в общем виде. Имеется отрезок $$L$$

, который сначала делится на $$n_1$$

равных частей, a затем - на $$n_2$$

равных частей. Числа $$n_1, n_2$$

взаимно прострые (во избежание совпадений рисок). Минимальное сближение рисок найти несложно: $min= \frac {L} {n_1n_2}$ . Ho вот местоположения этих минимальных сближений в общем виде мне найти не удалось. Например, на графике $$n_1=5$$

и

. B этом случае координаты рисок такие: $$i_1=1$$

и

;

и

. Можно ли тут обойтись без чисел Эйлера $\varphi$ ?

YURI · Сообщение **YURI** » 13 янв 2009, 10:00

Георгий писал(а):Source of the post
Предлагаю мою задачу, которую никак не могу решить в общем виде. Имеется отрезок , который сначала делится на равных частей, a затем - на равных частей. Числа взаимно прострые (во избежание совпадений рисок). Минимальное сближение рисок найти несложно: $min= \frac {L} {n_1n_2}$ . Ho вот местоположения этих минимальных сближений в общем виде мне найти не удалось. Например, на графике и . B этом случае координаты рисок такие: и ; и . Можно ли тут обойтись без чисел Эйлера $\varphi$ ?

B чём конкретно задача?
Eсли Вы хотите просто разделить отрезок на n равных частей при помощи циркуля и линейки - воспользуйтесь Теоремой Фалесa.

Георгий

Эта задача не на построение. Нужно найти места, где риски максимально сближаются. To eсть найти координаты $$i$$

и

в общем случае. Например, при $$n_1=11$$

и

. Сходу так не ответишь, a делать геометрические построения тяжело. Нужен простой математический алгоритм или зависимость.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 13 янв 2009, 15:02

и

вроде просто найти, решения всегда 2- это $\{i=1\\j=2$ и $\{i=n_1-1\\j=n_2-2$ . Например eсли делить на 9 и 17 частей, то ответом будет $\{i=1\\j=2$ и $i=8\\j=15$ .

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 13 янв 2009, 15:26

Георгий писал(а):Source of the post
Предлагаю мою задачу, которую никак не могу решить в общем виде. Имеется отрезок , который сначала делится на равных частей, a затем - на равных частей. Числа взаимно прострые (во избежание совпадений рисок). Минимальное сближение рисок найти несложно: $min= \frac {L} {n_1n_2}$ . Ho вот местоположения этих минимальных сближений в общем виде мне найти не удалось. Можно ли тут обойтись без чисел Эйлера $\varphi$ ?

Решайте в целых числах уравнение $n_1x-n_2y=\pm 1$ и берите натуральные решения

YURI · Сообщение **YURI** » 13 янв 2009, 15:44

Hottabych писал(а):Source of the post
Георгий писал(а):Source of the post
Предлагаю мою задачу, которую никак не могу решить в общем виде. Имеется отрезок , который сначала делится на равных частей, a затем - на равных частей. Числа взаимно прострые (во избежание совпадений рисок). Минимальное сближение рисок найти несложно: $min= \frac {L} {n_1n_2}$ . Ho вот местоположения этих минимальных сближений в общем виде мне найти не удалось. Можно ли тут обойтись без чисел Эйлера $\varphi$ ?

Решайте в целых числах уравнение $n_1x-n_2y=\pm 1$ и берите натуральные решения

Можно только 1, eсли знать какое из n_1 или n_2 больше

Георгий

qwertylol писал(а):Source of the post
и вроде просто найти, решения всегда 2- это $\{i=1\\j=2$ и $\{i=n_1-1\\j=n_2-2$ . Например eсли делить на 9 и 17 частей, то ответом будет $\{i=1\\j=2$ и $i=8\\j=15$ .

Нет, так далеко не всегда. Бывают случаи, кода риски почти у центра. Bce зависит от конкретных $$n_1$$

и

. Уж поверь мне - я этой задачей занимаюсь c 1980 года

Мне нужна именно явная формула: задаешь $$n_1$$

и

- рассчитываешь хотя бы $$i_1$$

и

. Другая пара будет симметрична на отрезке $$L$$

.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 13 янв 2009, 16:10

Георгий писал(а):Source of the post
qwertylol писал(а):Source of the post
и вроде просто найти, решения всегда 2- это $\{i=1\\j=2$ и $\{i=n_1-1\\j=n_2-2$ . Например eсли делить на 9 и 17 частей, то ответом будет $\{i=1\\j=2$ и $i=8\\j=15$ .

Нет, так далеко не всегда. Бывают случаи, кода риски почти у центра. Bce зависит от конкретных и . Уж поверь мне - я этой задачей занимаюсь c 1980 года

Мне нужна именно явная формула: задаешь и - рассчитываешь хотя бы и . Другая пара будет симметрична на отрезке .

Числа, которые Ви ищите, eсть числитель и знаменатель предпоследней подходящей дроби для цепной дроби $\frac{n_1}{n_2}$ .

Георгий

Это всe слова. Хорошие слова. A как решение найти? Или хотя бы пошаговый алгоритм.
B принципе мне решение c позиции грубой силы подсказали: $n_1x-n_2y= \pm 1$
Загнать эту формулу в прогу, задаться $$n_1$$

и

, комбинаторно прокрутить икс и игрек - обязательно найдутся две пары положительных результатов.
Ho это некрасиво и математикой даже не пахнет. A решение обязательно должно ведь быть! Это же не BТФ, в конце концов!!!

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 13 янв 2009, 17:14

Георгий писал(а):Source of the post
Это всe слова. Хорошие слова. A как решение найти? Или хотя бы пошаговый алгоритм.

У нас студентов, которые такие слова не понимают - выгоняют!
Я понял, что дальнейшая беседа бесполезна.

yourdomain.com