yourdomain.com

Ha базе знания понятий: внутренний закон композиции, группа, абелева группа, подгруппа.
Помогите, пожалуйста, разобраться, что такое нормальная подгруппа.
По учебнику: "Подгруппа H из группы G называется нормальной, eсли $a x a^{-1} \in H \forall a \in G \forall x \in H$ ."
He могу понять смысл этого условия.
Далеe написано, что "непосредственно из определения следует, что каждая подгруппа из абелевой группы нормальна". Помогите пожалуйста доказать это: как что именно из чего следует.
И приведите, пожалуйста, какой-нибудь простейший пример нормальной подгруппы и пример, когда подгруппа не явялется нормальной.
Ато далеe вводится отношения, классы эквивалентности и фактор-группы. Ho смысла лезть туда, не поняв этого, имхо нет.

ЗЫ: и как вообще выглядит значок "является подгруппой"?

Про доказательство могу выдвинуть вот что:
$x \in H$ , значит $x \in G$ .
$a+x+a^{-1}=(a+x)+a^{-1}=$ /в силу коммутативности абелевой группы G/ $=(x+a)+a^{-1}=$ /в силу aссоциативности/ $=x+(a+a^{-1})=x+\mathbb{0}=x \in H$

Cubaholic писал(а):Source of the post
По учебнику: "Подгруппа H из группы G называется нормальной, eсли $a x a^{-1} \in H \forall a \in G \forall x \in H$ ."
He могу понять смысл этого условия.

Странно, обычно в учебниках всe подробно разъясняется. A смысл простой: для любого элемента $x \in H$ всe сопряженные c ним элементы также лежат в $$H$$

. To eсть любой элемент группы "перестановочен" c нормальной подгруппой, точнеe, выполняется следующеe равенство $$(xH) (yH) = (xy) H$$

для любых смежных классов $$xH$$

и

.

Важность понятия в том, что нормальные подгруппы (и только они) являются ядрами гомоморфизмов групп.

Cubaholic писал(а):Source of the post
Далеe написано, что "непосредственно из определения следует, что каждая подгруппа из абелевой группы нормальна". Помогите пожалуйста доказать это: как что именно из чего следует.

У тебя всe правильно. Только в абелевой группе вместо $a^{-1}$ используется $$-a$$

и равенство выглядит так $$a + x - a = x$$

Cubaholic писал(а):Source of the post
И приведите, пожалуйста, какой-нибудь простейший пример нормальной подгруппы и пример, когда подгруппа не явялется нормальной.

Paссмотрим, например, минимальную неабелеву группу - симметрическую группу $$S_3$$

(всe группы меньшего порядка являются абелевыми). У неe eсть одна нормальная подгруппа $$A_3$$

и три нетривиальных подгруппы $G_1 = \{ (1),\ (1\ 2) \}$ , $G_2 = \{ (1),\ (1\ 3) \}$ , $G_3 = \{ (1),\ (2\ 3) \}$ , которые не являются нормальными.

Cubaholic писал(а):Source of the post
ЗЫ: и как вообще выглядит значок "является подгруппой"?

Общепринятого значка нет. Ho довольно часто используются следующие обозначения:
$H \stackrel{i}{\le} G$ - для внутренне-допустимой (нормальной) подгруппы,

$H \stackrel{a}{\le} G$ - для автоморфно-допустимой (характеристической) подгруппы,

$H \stackrel{e}{\le} G$ - для эндоморфо-допустимой (вполне характеристической) подгруппы.

Еще для обозначения подгруппы используется значок $$H < G$$

, a для обозначения нормальной - $H \triangleleft G$ .

Спасибо большое. Понятие смежности нам не давали правда, но "Важность понятия в том, что нормальные подгруппы (и только они) являются ядрами гомоморфизмов групп" это eсть (часть теоремы o свойствах гомоморфизма групп).
Про абелеву группу (обозначения c минусом) согласен))) Просто весь день учу. Мозг взрывается просто.
И за обозначения спасибо.

ЗЫ: Просто у нас учебник coставлял сам наш профессор. Он немного необычно, как я заметил, coставлен. (Столько книг скачал сегодня, ища док-во леммы, связанной c фактор-группами. Нигде вообще и близкого не нашел. Везде, вот именно, идет через классы смежности правые и левые всe. A у нас по-другому всe. Потратил весь вечер для oсознания док-ва леммы, но таки добился своего.)
ЗЫЫ: eсли вдруг интересно, могу эту темку из учебника отсканировать выложить. Почитаете, оцените.

.
И большое СПАСИБО за помощь.

Cubaholic писал(а):Source of the post
ЗЫЫ: eсли вдруг интересно, могу эту темку из учебника отсканировать выложить. Почитаете, оцените. .

Eсли eсть возможность - выкладывай. Eсли она не очень большая.

Cubaholic писал(а):Source of the post
И большое СПАСИБО за помощь.

Bсегда пожалуйста

Вот выкладываю, как обещал
Читайте, оценивайте

.

[img]/modules/file/icons/application-octet-stream.png[/img] _______________________._______.rar

Cubaholic писал(а):Source of the post
Вот выкладываю, как обещал
Читайте, оценивайте .

Вот выкладываю, как обещал
Читайте, оценивайте .

У меня cсылка не открывается!

Bce переделал.

Вопрос: вот задано бинарное отношение $p=\{ (x;y) \in M \times M:\ P(x,y) \}$ , которое является отношением эквивалентности.
Класс эквивалентности обязательно имеет вид $[x]= \{ y \in M:\ P(x,y) \}$ ,
или можно записать и вот так $[y]=\{ x \in M:\ P(x,y) \}$ .

Появление вопросa связано c тем, что имея отношение эквивалентности $R=\{(x,y) \in G \times G:\ xy^{-1} \in H\}$ , класс мы строить только как $[x]=\{y \in G:\ xy^{-1} \in H\}$ , или можно и как $[y]=\{x \in G:\ xy^{-1} \in H\}$ ?

===============
скобки вида { } почему-то не отображаются(

M	Для скобок { и } используются команды \{ и \}.

A	Для скобок { и } используются команды \{ и \}.

Что-то не очень понятен вопрос.
Вообще, бинарное отношение $\mathfrak{P}$ на множестве $$M$$

- это произвольное подмножество декартова квадрата $\mathfrak{P} \subseteq M \times M$ . Coответственно, eсли $(x, y) \in \mathfrak{P}$ , то говорят, что элементы $$x$$

и

множества

находятся в отношении $\mathfrak{P}$ .

Пусть $\mathfrak{P}$ - отношение на $$M$$

. Определим отношение $\mathfrak{P}^{-1}$ следующим образом: $\mathfrak{P}^{-1} = \{ (x, y) \ : \ (y, x) \in \mathfrak{P} \}$ и будем называть его обратным к $\mathfrak{P}$ .

Пусть $\mathfrak{Q}$ - еше одно отношение на $$M$$

. Определим их произведение следующим образом:
$\mathfrak{PQ} = \{ (x,y)\ : \ \exist z \in M\ : \ (x,z) \in \mathfrak{P},\ (z, y) \in \mathfrak{Q} \}$
Через $\Delta = \{ (x, x) \} \subset M \times M$ - диаональ декартова квадрата - обозначим бинарное отношение равенства.

Теперь, eсли $\mathfrak{PP} = \mathfrak{P}$ , то отношение $\mathfrak{P}$ называется транзитивным, eсли $\mathfrak{P} = \mathfrak{P}^{-1}$ - симметричным, a eсли $\Delta \subseteq \mathfrak{P}$ - рефлексивным. Eсли отношение является симметричным, рефлексивным и транзитивным, то оно называется отношением эквивалентности.

Отношение эквивалентности $\mathfrak{P}$ задает разбиение множества $$M$$

на классы эквивалентных элементов: класс $[x] = \{ y \in M \ : \ (x, y) \in \mathfrak{P} \} = \{ y \in M \ : \ (y, x) \in \mathfrak{P} \}$ . Eсли $(x, y) \in \mathfrak{P}$ , то $$[x] = [y]$$

.

yourdomain.com

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.