Пусть
- выбранные Васей векторы, то есть
- самый дешевый,
- самый дешевый из неколлинеарных c
и
- самый дешевый из некомпланарных c
. Обозначим через
стоимость вектора
.
1) Пусть
- набор базисных векторов минимальной стоимости
. Тогда существует набор базисных векторов, содержащий
, который имеет стоимость
.
Действительно, вектор
не лежит по крайней мере в одной из плоскостей
,
. Так как в противном случае мы получим
. Это возможно только в двух случаях:
1) векторы
, линейно зависимы, что невозможно, и
2)
.
Bo втором случае достаточно заменить вектор
на
. При этом стоимость набора не увеличится.
Рассмотрим первый случай. Для определенности, пусть
не лежит в плоскости
. Ho тогда
- базис, стоимость которого
.
2) Пусть
- набор базисных векторов минимальной стоимости
. Тогда существует набор базисных векторов, содержащий
, который имеет стоимость
.
Действительно, вектор
не лежит по крайней мере в одной из плоскостей
,
. Так как в противном случае мы получим
. Как и выше, это возможно только в двух слйчаях:
1) векторы
линейно зависимы, что невозможно, и
2)
.
Так как второй случай не возможен, то рассмотрим первый. Для определенности, пусть
не лежит в плоскости
. Ho тогда
- базис, стоимость которого
, так как, по выбору векторов
,
.
Итак, выбранный набор должен содержать векторы
и
. Ho тогда для минимизации стоимости необходимо для построения базиса в качестве третьего вектора взять вектор минимальной стоимости из некомпланарных c
и
, то есть вектор
.