иррациональность

YURI · Сообщение **YURI** » 22 янв 2008, 20:49

Вопрос: может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?
Первому решившему, само собой $$+$$

.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 22 янв 2008, 22:06

YURI писал(а):Source of the post
Вопрос: может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?
Первому решившему, само собой .

Например $\left( 2^{\sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 23 янв 2008, 10:37

$2^{\sqrt{2}}$ не мешает доказать, что это иррациональное число.

A вот одно из двух, ниже приведенных чисел удовлетворяет условиям:
$\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}=2$

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$

Bce это изложено в великом журнале "Квант"

YURI · Сообщение **YURI** » 23 янв 2008, 16:29

AV_77 писал(а):Source of the post
YURI писал(а):Source of the post
Вопрос: может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?
Первому решившему, само собой .

Например $\left( 2^{\sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Разумеется $$+1$$

, AV_77!

Можно даже сказать, что $2^{\sqrt{2}}$ - трансцендентно.

Pavlovsky писал(а):Source of the post
$2^{\sqrt{2}}$ не мешает доказать, что это иррациональное число.

A вот одно из двух, ниже приведенных чисел удовлетворяет условиям:
$\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}=2$

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$

Bce это изложено в великом журнале "Квант"

Да и Вам, Pavlovsky!

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 24 янв 2008, 09:28

[url=http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=11565...=bolibruh3.html]http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=11565...=bolibruh3.html[/url]

YURI · Сообщение **YURI** » 24 янв 2008, 09:38

Спасибо! Да именно $2^{\sqrt{2}}$ - трансцендентно по теореме Гельфонда.

Быстро просмотрев ссылку не нашел: может ли трансцендентное в трансц. степени быть рациональным?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 24 янв 2008, 10:50

YURI писал(а):Source of the post
Быстро просмотрев ссылку не нашел: может ли трансцендентное в трансц. степени быть рациональным?

A как насчёт $\left( {2^\pi } \right)^{\frac{1}{\pi }} = 2$ ?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 24 янв 2008, 10:53

Почему эти два числа трансцендентны ?

YURI · Сообщение **YURI** » 24 янв 2008, 18:44

Draeden писал(а):Source of the post
Почему эти два числа трансцендентны ?

********************************************************************
Седьмая проблема Гильберта формулируется следующим образом:

Пусть a --- положительное алгебраическое число, не равное 1, b --- иррациональное алгебраическое число. Доказать, что $$a^b$$

есть число трансцендентное.

B 1934 году советский математик Гельфонд и чуть позже немецкий математик Шнайдер доказали справедливость этого утверждения, и таким образом, эта проблема была решена.
********************************************************************
Действительно? Насчёт $\frac {1} {\pi}$ согласен. A что скажите про $2^\pi$ ?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 24 янв 2008, 19:14

A чо это за перец такой, Гильберт ?
Подумаешь проблему сформулировал просто он не знал как решить и всего то

yourdomain.com