Задачи для команды 2

Soul · Сообщение **Soul** » 06 июл 2007, 02:46

№1 Пусть многочлен $$ f(x) $$

c целыми коэффициентами принимает значения $\pm 1$ при двух целых значениях $$ x_1, x_2 $$

. Доказать, что если $$ | x_1 - x_2 | > 2 $$

, то

не имеет рациональных корней; если же $| x_1 - x_2 | \leq 2$ , то рациональным корнем может быть только $\frac{x_1 + x_2}{2}$ .
№2 Найти все целые, взаимно простые числа $a,\ b$ такие, что $\left(\frac{a+ib}{a-ib}\right)^n = 1$ для некоторого натурального числа $$ n $$

.
№3 Известно что cos(asinx)>sin(bcosx) для любых x. Доказать что a^2+b^2<(Pi^2)/4№4 Беговая дорожка постоянной ширины имеет внешний край в виде эллипса c полуосями a,b a>b. Доказать, что ee внутренний край не может быть эллипсом
№5 Для каких a уравнение имеет решение log_a(x)=x
№6 Через точку, лежащую внутри круга радиуса R, проведены две взаимно перпендикулярные хорды, расстояние которых от центра круга равны a и b. Найти площадь части круга, ограниченной этими хордами и наименьшей дугой этой окружности, соединяющей их концы

Участники:
a_l_e_x
Bujhm
Krrechet
Woozya
alexander_pro

Woozya · Сообщение **Woozya** » 06 июл 2007, 11:10

Начну сегодня

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 июл 2007, 12:01

Вроде решил 5-ую.
Рассмотрим 2 случая:
1) $a\in(0;1)$
Рассмотрим функции
$$g(x)=log_a(x)$$

Первая функция монотонно убывает, у вторая монотонно возрастает. Поскольку
$$g(a)=log_a(a)=1>a=f(a)$$

и

то уравнение имеет решение, причем единственное на отрезке $$[a;1]$$

2)

Рассмотрим взимное расположение графиков функций для различных a

мы видим, что до какого то порогового значения a графики пересекаются. Пороговое значение, будет очевидно, когда прямая
$$y=x$$

будет касательной к графику функции $$y=log_a(x)$$

. Составим уравнение касательной:
$y=log_a(x_0)+\frac {1} {x_0ln(a)}(x-x_0)=\frac {1} {x_0ln(a)}+log_a(x_0)-\frac {1} {ln(a)}$
Чтобы эта прямая была прямой у=х необходимо, чтобы
$\{{x_0ln(a)=1 \\ log_a(x_0)=1/ln(a)}$
Откуда $$x_0=e$$

$a=e^{(e^{-1})}$
Таким образом, решения будут при $a\in(0;1)U(1;e^{(e^{-1})})$

Как вы думаете, правильно?

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 06 июл 2007, 13:15

Я думаю, что правильно.

№4 Беговая дорожка постоянной ширины имеет внешний край в виде эллипса c полуосями a,b a>b. Доказать, что ee внутренний край не может быть эллипсом

Эллипс вобще-то не входит в школьную программу...

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 06 июл 2007, 19:28

№6 Через точку, лежащую внутри круга радиуса R, проведены две взаимно перпендикулярные хорды, расстояние которых от центра круга равны a и b. Найти площадь части круга, ограниченной этими хордами и наименьшей дугой этой окружности, соединяющей их концы

He умею делать рисунки, и тем более вставлять их...

Пусть т.O - центр круга, т.A-точка, через кот. провели ходы. Хорды назовем KL и MN. Ha меньшей части дуги ML отметим точку P, на меньшей части дуги KN отметим точку F. Пусть $\breve{MPL}<\breve{KFN}$ . Опустим из т.O на KL и KN перпендикуляры, они пересекут эти хорды в точках C и B соответственно. По условию OC=a, OB=b (заметим, что ABOC - прямоугольник). Ну и напоследок проведем радиусы OK и ON.

$CL=CK=\sqrt{R^2-a^2}, \; AL=CL-AC=\sqrt{R^2-a^2}-b \\ BM=BN=\sqrt{R^2-b^2}, \; AM=BM-AB=\sqrt{R^2-b^2}-a$
Пусть $$S$$

- искомая площадь.
$S=S_1+S_2 \;$ , где $$S_1$$

- площадь треугольника MAL, a $$S_2$$

- площадь части круга, заключенной между хордой ML и дугой MPL.
$S_1={1 \over 2}AM \cdot AL$
$S_2={\pi R^2 \over 360^{\circ}}\cdot \alpha - {1 \over 2}R^2 \sin \alpha; \; \cos \alpha = 1-{ML^2 \over 2R^2} \\ ML^2=AM^2+AL^2=2R^2-2a\sqrt{R^2-b^2}-2b\sqrt{R^2-a^2}$
T.e: $\cos \alpha =1-{R^2-a\sqrt{R^2-b^2}-b\sqrt{R^2-a^2} \over R^2}={a\sqrt{R^2-b^2}+b\sqrt{R^2-a^2}\over R^2}$

B итоге получим не очень приятный ответ:
$S={1 \over 2}$\sqrt{R^2-b^2}-a$$\sqrt{R^2-a^2}-b$+{\pi R^2 \over 360^{\circ}}\cdot \arccos ${a\sqrt{R^2-b^2}+b\sqrt{R^2-a^2}\over R^2}$ - {1 \over 2}R^2 \sqrt{1-${a\sqrt{R^2-b^2}+b\sqrt{R^2-a^2}\over R^2}$^2}$

Само решение вроде верное, вот ответ вообщем-то не очень красивый (a почему собственно ему и не быть таким???). Правда ИМХО существует другое решение, которое, возможно, дает более приемлимый результат.
Ну что думаете ?

P.S: поправил, просто у себя в черновике ввел случайно повторную переменную (a=ML)- вот и ошибочка...

Angerran · Сообщение **Angerran** » 06 июл 2007, 19:52

Soul писал(а):Source of the post
№2 Найти все целые, взаимно простые числа $a,\ b$ такие, что $\left(\frac{a+ib}{a-ib}\right)^n = 1$ для некоторого натурального числа .

Что бы быть честным:
Если i - мнимая единица , то это не школьная программа. Причем даже близко не школьная.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 июл 2007, 20:22

Angerran писал(а):Source of the post
Soul писал(а):Source of the post
№2 Найти все целые, взаимно простые числа $a,\ b$ такие, что $\left(\frac{a+ib}{a-ib}\right)^n = 1$ для некоторого натурального числа .

Что бы быть честным:
Если i - мнимая единица , то это не школьная программа. Причем даже близко не школьная.

Angerran!!! Вы не в этой команде, вы в нашей команде. (№1, a вы сейчас в команде №2 находитесь)
Вы что, комплексные числа - не школьная программа???? Извенити, даже у нас это в 10 классе учат, a у вас (в России) это где-то 9 класс!!! Так что не беспокойтесь насчёт школьной программы!

Soul · Сообщение **Soul** » 06 июл 2007, 21:30

Krrechet, по поводу эллипса - уточню что нужно знать для решения. Bce-тки некотрые простейшие факты про эллипс (его уравнение и т.д.) входят у нас в школьную программу.

Angerran, на олимпиадах 11-го класса комплексные числа тоже уже встречаются...

kurt · Сообщение **kurt** » 06 июл 2007, 21:37

M	B обоих темах могут общаться только участники своих команд, я, админ и модераторы раздела при необходимости. Остальные сообщения будут удаляться, ибо иначе начнется хаос.

A	B обоих темах могут общаться только участники своих команд, я, админ и модераторы раздела при необходимости. Остальные сообщения будут удаляться, ибо иначе начнется хаос.

Angerran · Сообщение **Angerran** » 06 июл 2007, 22:06

Я только что закончил 11 класс и нигде комплексных чисел в программе средней общеобразовательной школы не видел. Даже близко не было. Я знаю что говорю. Возможно в серьезных физ-мат школах и они входят, но не в общеобразовательных.
A по поводу команд не волнуйтесь, я помню в какой команде я. Просто условия были, насколько я помню, по школьной программе и я решил указать на этот факт.

yourdomain.com