Интересное математическое утверждение, можно ли доказать?

txttobrain · Сообщение **txttobrain** » 27 сен 2016, 22:02

Мой знакомый является автором любопытного утверждения, которое выдал, как-то невзначай. Приведу его мини-публикацию:
(с) И. Б. ПЕТРОВ
УТВЕРЖДЕНИЕ О СХОЖЕСТИ ЧИСЛОВЫХ СУЩНОСТЕЙ.
Если взять определенную группу цифр (определенные цифры в определенном количестве) и составить из них различные натуральные числа, а затем возвести каждое такое число в любую степень с натуральным показателем и сложить все цифры каждого полученного, в результате этой операции, числа до получения одной цифры (последовательное сложение сумм), то эта цифра будет одинакова для каждого такого числа и определенного показателя степени.
Иначе, это утверждение можно сформулировать так: для всех натуральных чисел состоящих из одного и того же набора цифр (учитывая количество каждой цифры в числе), итоговая сумма сложения цифр (до получения одной цифры), составляющих каждое число, полученное при возведении в степень с любым натуральным показателем исходных чисел — будет всегда одинакова, для каждого показателя степени.
Например:
Возьмем следующий набор цифр — 4,1. Составим из них возможные натуральные числа: 41, 14. Возведем в степень и подсчитаем сумму цифр:
41^2=1681, 1+6+8+1=16, 1+6=7.
14^2=196, 1+9+6=16, 1+6=7.
41^3=68921, 6+8+9+2+1=26, 2+6=8.
14^3=2744, 2+7+4+4=17, 1+7=8.
…
Возьмем для примера более наглядное число: 3236405011. Для простаты обозначим конечную сумму цифр буквой — S (в примере выше — это 7 и 8):
S(3236405011)=7.
S(4036503211)=7.
S(3321410605)=7.
S(...)=7.
S(3236405011^2)=4.
S(4036503211^2)=4.
S(3321410605^2)=4.
S(...^2)=4.
S(3236405011^3)=1.
S(4036503211^3)=1.
S(3321410605^3)=1.
S(...^3)=1.
S(3236405011^4)=7.
S(4036503211^4)=7.
S(3321410605^4)=7.
S(...^4)=7.
S(3236405011^5)=4.
S(4036503211^5)=4.
S(3321410605^5)=4.
S(...^5)=4.
S(3236405011^12)=1.
S(4036503211^12)=1.
S(3321410605^12)=1.
S(...^12)=1.
S(3236405011^23)=4.
S(4036503211^23)=4.
S(3321410605^23)=4.
S(...^23)=4.
…
Я как-то не обратил на это внимания и отмахнулся, решил что просто бред, быть такого не может, а потом стало любопытно и решил проверить - и правда все сходится. Но вот можно ли как-то это доказать математически? А то так это просто голословное утверждение...
Дело в том, что на самом деле у меня есть идея использования этого принципа (или теоремы) в неком алгоритме шифрования, да и просто любопытно же как-то и странно получается. Такими сложениями цифр увлекались ранее (да и сейчас) всякие нумерологи и считал, что эти "мат. извраты" не подчиняются никакой логике и закономерностям, а тут - получается очень даже...
Сам я не математик, но близкий к этому по специальности (программист), однако, ни как не могу понять связь между суммай цифр (!) и результатом математических операций над числами(!)... Единсвенная мысль: дело в самой системе исчеслений... Но увязать одно с другим не могу(.

txttobrain · Сообщение **txttobrain** » 28 сен 2016, 06:06

Вспомнил школьную алгебру и вопрос отпал сам собой)) Просто условие так дано, что сразу мысли полезли в теорию множеств, вместо школьного учебника... (Типо все должно быть сложно).

Dredd · Сообщение **Dredd** » 28 сен 2016, 06:25

Поумнажал, для интереса - для многих чисел совпадает, действительно. Но иногда - не совпадает. А вообще есть аутисты, которые в уме круто умножают - вот они как раз этим и занимается - находят кучу связей между числами, а потом ими пользуются, чтобы в уме умножать. Целую книгу могут написать, наверное, об этом))

12d3 · Сообщение **12d3** » 28 сен 2016, 08:04

Так это понятно почему. Сложение цифр до получения одной цифры - это называется цифровой корень. https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root ]https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root [/url] По сути, это остаток при делении на 9. Если два числа имеют одинаковый остаток, то при возведении в одинаковую степень они опять будут иметь одинаковый остаток. Это простое свойство сравнений по модулю. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8E https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%...%83%D0%BB%D1%8E

Dredd писал(а):Source of the post Но иногда - не совпадает.

Тщательней нужно, тщательней.

Dredd · Сообщение **Dredd** » 28 сен 2016, 08:23

12d3 писал(а):Source of the post Тщательней нужно, тщательней.

Я как-то пробовал порешать теорему Ферма и найти закономерности у простых чисел. Это просто жесть - числовой ряд издевается над такими энтузиастами - то обнадежит якобы найденным свойством, то нарушит эту надежду контр-примером. Ну нафиг эту бесконечность чисел - она сама себе на уме

losev.cergej

Dredd писал(а):Source of the post Я как-то пробовал порешать теорему Ферма

А разве теорема Ферма нуждается в доказательстве.
Для любого не четного n справедливо следующие, утверждение. ( $a^{n} +b^{n}:(a + b)$ но (а +b)^n > a^n +b^n $\Rightarrow a^{n} +b^{n} \neq %u0441^{n}$ $c^{n}$

dust1939 · Сообщение **dust1939** » 16 окт 2016, 21:53

txttobrain писал(а):Source of the post Для простаты обозначим конечную сумму цифр буквой

Так и написано?

losev.cergej

dust1939 писал(а):Source of the post Так и написано?

это сейчас очень быстро лечется.

Capt. Buran · Сообщение **Capt. Buran** » 17 окт 2016, 07:56

txttobrain писал(а):Source of the post Для простаты обозначим конечную сумму цифр буквой — S

Это вам в медицину, а не в математику надо постить

yourdomain.com