помогите решить показательное уравнение в натуральных числах

raisa1026 · Сообщение **raisa1026** » 23 сен 2016, 20:28

решить в натуральных числах x, y, z уравнение $1+2^{x}+2^{x+y}=5^{z}$ .

losev.cergej

х=3 ; у=1; z=2

ARRY · Сообщение **ARRY** » 24 сен 2016, 08:03

А доказательство единственности?

raisa1026 · Сообщение **raisa1026** » 24 сен 2016, 21:06

Спасибо большое за ответ. Подскажите как доказать, что решений больше нет.

Shadows · Сообщение **Shadows** » 01 окт 2016, 07:43

$5^z\equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow x\ge 2$
При $$x=2$$

решений нет по модулю 5, значит $x\ge 3$
$$2^x(1+2^y)=(1+4)^z-1$$

Разложим бином Ньютона
$(1+4)^z=1+z\cdot 4+\frac{z(z-1)}{2}\cdot 4^2+\cdots$
$2^x(1+2^y)=4z(1+2z(z-1)+\cdots)$
Значит z-четное. Тогда $$5^z-1$$

делится на 3, следовательно y-нечетное.
Если z делится на 4, то

Shadows · Сообщение **Shadows** » 01 окт 2016, 07:51

Вместо просмотр нажал "отправить", не могу редактировать, так что продолжаю.
Если z делится на 4, то $$5^z-1$$

делится на 13, а $$1+2^y$$

при нечетном y-нет.
Значит $z\equiv 2 \pmod 4,\Rightarrow x=3$
$\\9+2^{y+3}=5^{2t}\\ (5^t-3)(5^t+3)=2^{y+3}\\ \\ 5^t+3=2^{y+2}\\ 5^t-3=2\\\\ t=1,y=1$

yourdomain.com