Задачи для команды 2

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 07 июл 2007, 11:15

Насчет задачи c дорожкой. Непонятно, что считать шириной полосы

Точное определение постоянной ширины не нашел. Объясняю как могу.
Возьмем точку M на внешнем крае дорожки. Проведем через нее касательную, к ней перпендикуляр (получим нормаль), на перпендикуляре отложим заданную ширину получим точку M'. Множество таких точек и будет составлять внутренний край беговой дорожки.

Странно в свое время подобные задачи были очень популярны на олимпиадах

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 07 июл 2007, 17:43

6-я задача. Решение похоже на то как решал Krrechet, правда я не могу пока найти площадь сектора ограниченной хордой и дугой - мне кажется нужно взять интеграл - но функция неизвестна.
Вот мои наброски - почти тоже самое:
OA^2=a^2+b^2; $OA=\sqrt{a^2+b^2}$ ;
$AD=R-\sqrt{a^2+b^2}$ ;
Треугольники AON и DAC подобны:
AD/AN=AC/AO:
$AC=\frac {R\sqrt{a^2+b^2}-a^2-b^2} {b}$ ;
анологично треугольники ADC и AOK: BA/AO=DA/AK:
$BA=\frac {R\sqrt{a^2+b^2}-a^2-b^2} {a}$ ;
$$S_ABC=0.5*AC*BA$$

;
$S_ABC=0.5*\frac {(R\sqrt{a^2+b^2}-a^2-b^2)^2} {ab}$ ;
$BC=\sqrt{AC^2+BA^2}$ :
Дальше надо ещё подумать.

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 07 июл 2007, 17:51

Bujhm, a ты смотрел сообщение #5 ?

Я там же нашел площадь части круга, ограниченной хордой и дугой...

P.S: alexander pro, думаю стоит удалить сообщения №11 и №14 за ненадобностью, и чтобы тема не засорялась...

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 07 июл 2007, 17:54

2-я задачка - может совсем неправильно - но у меня такие мысли:
$(\frac {a+ib} {a-ib})^n=1$ :
Пусть n-чётное, тогда:
$(\frac {a+ib} {a-ib})^n=\pm1$
1) a+ib=a-ib=>b=0;
2) a+ib=-a+ib=>a=0;
Пусть n-нечётное
a+ib=a-ib=>b=0.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 07 июл 2007, 18:09

Bo второй задаче если записать уравнение в виде
$$(a+ib)^n=(a-ib)^n$$

и перейти к тригонометрической форме комплексного числа, получим, что уравнению удовлетворяют все числа
$cos {\frac {\pi k} {n}}=\frac {a} {\sqrt{a^2+b^2}}$ , где $k\in Z$ , например, этому условию удовлетворяют $$a=b=1$$

, т.e
$(\frac {1+i} {1-i})^{4k}=1$ . Думаю, что других чисел нет, но надо это доказать

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 07 июл 2007, 18:38

Из равенства
$cos { \frac {\pi k} {n}}=\frac {a} {\sqrt{a^2+b^2}}$
можно получить равенство
$cos{ \frac {2\pi k} {n}}=\frac {a^2-b^2} {a^2+b^2}$
осталось доказать, что косинус числа $\frac {\pi m} {n}$ может быть рациональным только если $$m=n$$

или

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 07 июл 2007, 21:42

Насчет первой задачи. Может поможет чем то. Поскольку числа $$x_1$$

и

являются корнями многочлена $$f(x)^2-1$$

, то

, где

- тоже многочлен. Наименьшее значение выражения $$(x-x_1)(x-x_2)$$

равно $\frac {(x_1-x_2)^2} {4}$ и достигается при $x=\frac {x_1+x_2} {2}$
$$|x-x_1|=|x-x_2|$$

также при $x=\frac {x_1+x_2} {2}}$

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 07 июл 2007, 23:44

По поводу первой задачи: a_l_e_x, a почему вы считаете сободный член равным 0, или я что-то не так понял?

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 08 июл 2007, 00:44

Krrechet писал(а):Source of the post
По поводу первой задачи: a_l_e_x, a почему вы считаете сободный член равным 0, или я что-то не так понял?

Есть такая теорема Безу: если a - корень многочлена $$P_n(x)$$

, то

делится на выражение $$x-a$$

без остатка, или $P_n(x)=(x-a)Q_{n-1}(x)$

Как нетрудно убедиться числа $$x_1$$

и

корни многочлена $$f(x)^2-1$$

, a следовательно $$f(x)^2-1=(x-x_1)(x-x_2)Q(x)$$

Есть еще одна теорема по поводу рациональных корней мнгочлена. Если $P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n$ и $\frac {m} {n}$ корень многочлена, то $$n$$

-делитель свободного члена $$a_n$$

, a

- делитель $$a_0$$

. Может как то применить здесь эту теорему

Woozya · Сообщение **Woozya** » 08 июл 2007, 16:02

Прозевал всю игру, пока денег на нет не было..эх.

yourdomain.com