Формулы для решения Диофантовых уравнений.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 15 апр 2015, 06:16

На форуме dxdy крайне агрессивный народ.
Меня там давно забанили, но вопрос не в этом.
Время от времени там возникают вот такие темы.
http://dxdy.ru/topic87534.html http://dxdy.ru/topic87534.html

Читаешь и поражаешься, что за бред эти доценты пишут.
Ладно не умеешь решать уравнения.
Ладно не умеешь решать системы уравнений, но вот такую ахинею выдавать за науку.
Бредятина!

Смахивает на сумащедший дом!
Мы вот тут решили, что будем считать только так. И хоть никакого результата не будет всё равно будем считать так.
Хотя это абсолютно бесполезное занятие.
Потому, что они там собрались сидеть и перебирать различные варианты.
Господи - какой же идиотизм!

ARRY · Сообщение **ARRY** » 23 май 2015, 15:37

Здравствуйте, individ.an. Ну вот настала потребность в Вас и Ваших формулах.
Тут я несколько дней бьюсь над уравнением $$x^4+y^4=z^2$$

.
Не только не могу найти решений, но и не могу определить, разрешимо ли это диофантово уравнение или нет.
Среди Вашего большого склада формул этого случая не нашёл. Подсобите. Настал Ваш звёздный час.
Если Вас ещё не забанили суровые модераторы. Очень надеюсь, что нет.
Заранее благодарю.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 23 май 2015, 15:59

Есть такая книжка Серпинского . Элементарная Теория чисел. Она вроде на англиском . 1988. года выпуска.
На странице 57 он приводит рассуждения, что у этого уравнения решений нет.
Забавно, но похожее уравнение я решил и у него есть решение.
http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1054874_triangular_numbers_for_pythagorean_triples http://www.artofproblemsolving.com/communi...agorean_triples

ARRY · Сообщение **ARRY** » 23 май 2015, 16:07

individ.an писал(а):Source of the post Забавно, но похожее уравнение я решил и у него есть решение.

Ну по ссылке это не совсем то, что мне хотелось бы.
А у Серпинского только рассуждение или строгое доказательство неразрешимости?
Если не в лом, дайте ссылочку.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 23 май 2015, 16:24

Можно в этой библиотеке скачать.
http://bookre.org/isearch?q=Sierpinski+Theory+of+Numbers http://bookre.org/isearch?q=Sierpinski+Theory+of+Numbers

ARRY · Сообщение **ARRY** » 23 май 2015, 16:29

individ.an писал(а):Source of the post Можно в этой библиотеке скачать.
http://bookre.org/isearch?q=Sierpinski+Theory+of+Numbers http://bookre.org/isearch?q=Sierpinski+Theory+of+Numbers

Спасибо, конечно, но я туда сунулся, а там черви.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 23 май 2015, 16:35

Не понял.
Какие черви?

individ.an · Сообщение **individ.an** » 23 май 2015, 16:37

Ну в крайнем случае название книги я сказал.
Можно найти в других библиотеках. У меня вроде проблем там никаких. Всё показывает.

Shadows · Сообщение **Shadows** » 26 май 2015, 06:23

ARRY, неразрешимость этого уравнения в целых числах доказал сам Пьер Ферма, как частный случай его теоремы для 4-ой степени. Доказал методом спуска. - если существует тройка $$(x,y,z)$$

, натуральных чисел, удовлетворяющая уравнению $$x^4+y^4=z^2$$

, то существует меньшая тройка натуральных чисел, удовл. уравнению. Что на множестве натуральных чисел невозможно.
Само доказательство - школькое упражнение на пифагоровые тройки. Допустим, что $$(x,y,z)$$

- наименьшее решение уравнения в нат. числах (с наименьшем z). Тогда они взаимнопростые, x и y -разной четности. Пусть x-нечетное. Из формул для примитивных пифагоровых троек
$\begin{cases} x^2=u^2-v^2\\y^2=2uv \end{cases}$
где u,v - взаимнопростые натуральные числа разной четности. Первое уравнение тоже задает примитивную пифагоровую тройку. А значит
$\begin{cases} u=p^2+q^2\\v=2pq \end{cases}$
где p,q - взаимнопростые натуральные числа разной четности. Откуда
$$y^2=2uv=4pq(p^2+q^2)$$

Следовательно $$pq(p^2+q^2)$$

должно быть точным квадратом. Так как $$p,q,p^2+q^2$$

- попарно взаимнопростые числа, то их произведение может быть точным квадратом тогда и только тогда, когда все они - квадраты, тоесть:
$\begin{cases} p=a^2\\q=b^2\\p^2+q^2=c^2 \end{cases}$
Или $$a^4+b^4=c^2$$

Вернулись к исходному уравнению. Причем $$c<z$$

. (Нетрудно заметить, что $$z>y>c$$

)
Что противоречит предположению, что (x,y,z) - наимвньшая тройка, удовл. уравнению.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 26 май 2015, 08:33

Вот типичный продукт думательной математики. Они это считают доказательством.
Вот видно как сам расчёт и решения уравнения заменили рассуждениями.
Фактически превратили математику в философию. И при этом считают это правильным.
Ладно. Когда уравнение простое и все знают, что решений нет, а когда оно становится сложным?
Там рассуждениями можно ужас к чему прийти.

Хотя даже и у этого уравнения кучу вопросов можно задать.
Так для Пифагоровых троек $$a^2+b^2=c^2$$

Можно и такую формулу записать.
$$a=p(p+2s)$$

Да и вообще, что это привязались к этой формуле. Этих формул вообще можно понаписать бесконечное количество.
http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1049583___2 http://www.artofproblemsolving.com/communi...046h1049583___2
Где гарантия, что какая та формула - описывающая например какие то частные решения не может привести к решению системы уравнения?
С чего это надо именно этой формулой пользоваться?
Что? Так захотелось?

Ну написали систему. Ладно.
Что же её в лоб не решаете? Из той же системы пришли к ней же.
А ведь очень похожее уравнение:
$(\frac{a(a+1)}{2})^2+(\frac{b(b+1)}{2})^2=c^2$
Имеет решения :
http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1054874_triangular_numbers_for_pythagorean_triples http://www.artofproblemsolving.com/communi...agorean_triples

Может заодно и покажете как решить надо будет и это уравнение?
В природе если есть у уравнения решения - то это потому, что такие законы действия у математики.
Там не думать и рассуждать надо, а непосредственно решать уравнение.

yourdomain.com