Задача с натуральными числами

Hellko · Сообщение **Hellko** » 12 янв 2012, 21:04

а минимум?

VAL · Сообщение **VAL** » 13 янв 2012, 06:03

Hellko писал(а):Source of the post
а минимум?

Трудно сказать... Но 108-и чисел может и не хватить

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 13 янв 2012, 13:24

bas0514 писал(а):Source of the post
Почему сумма должна делиться на 561? Это число не простое. Например, сумма может делиться на 51, а разность на 11.

Верно. В канонической форме 561=3*11*17, поэтому его можно представить как 1*561, 3*187, 11*51, 17*33. Соответственно для первого случая сумма чисел должна быть равна 561, а разность 1. Соответственно эти числа 280 и 281, которые я уже приводил. Для второго случая это числа - 92 и 95, для третьего - 20 и 31 и четвертого - 8 и 25. Поэтому наименьшим будет число 25.

VAL · Сообщение **VAL** » 13 янв 2012, 16:56

vicvolf писал(а):Source of the post
В канонической форме 561=3*11*17, поэтому его можно представить как 1*561, 3*187, 11*51, 17*33. Соответственно для первого случая сумма чисел должна быть равна 561, а разность 1. Соответственно эти числа 280 и 281, которые я уже приводил. Для второго случая это числа - 92 и 95, для третьего - 20 и 31 и четвертого - 8 и 25. Поэтому наименьшим будет число 25.

25 говорите? Не будем мелочиться! Вот Вам сто чисел:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,26,27,28,29,30,
32, 33,34,35,36,37,38,39,40,41,43,44,45,46,47,48,49,51,52,54,55,56,57,60,61,
63,65,66, 68,69,70,71,72,74,77,78,79,80,81,85,87,88,89,90,94,96,99,102,103,
105,111,112,114,120,121,123,129,132,136,138,145,147,153,154,156,162,165,
171,180,187,189.
Укажите, пожалуйста два из них, разность квадратов которых делится на 561.

PS: Не только ответ, но и полное решение уже приведены выше.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 13 янв 2012, 18:29

VAL писал(а):Source of the post
25 говорите? Не будем мелочиться! Вот Вам сто чисел:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,26,27,28,29,30,
32, 33,34,35,36,37,38,39,40,41,43,44,45,46,47,48,49,51,52,54,55,56,57,60,61,
63,65,66, 68,69,70,71,72,74,77,78,79,80,81,85,87,88,89,90,94,96,99,102,103,
105,111,112,114,120,121,123,129,132,136,138,145,147,153,154,156,162,165,
171,180,187,189.
Укажите, пожалуйста два из них, разность квадратов которых делится на 561.

Не понял, почему мелочитесь и в Вашем списке натуральных чисел отсутствуют числа 25, 31, 95 и другие. Ведь в условии задачи надо указать просто минимальное натуральное число без ограничений. Достаточно первых 25 чисел $$25^2-8^2=625-64=561$$

. Поясните, пожалуйста, может я неправильно понял условие?

VAL · Сообщение **VAL** » 13 янв 2012, 19:37

vicvolf писал(а):Source of the post
Достаточно первых 25 чисел . Поясните, пожалуйста, может я неправильно понял условие?

Имеено! В условии сказано "для любых n натуральных чисел", а не "для первых n натуральных чисел".

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 14 янв 2012, 14:04

Думаю, что условие задачи не совсем корректно. Надо добавить, что "для любых первых n чисел", так как можно выбрать и 109 и любое другое число натуральных чисел, не удолетворяющих данному условию. Просто из любого списка последовательных натуральных чисел можно удалить числа, которые удолетворяют данному условию и сделать выборочный список длиной больше любого наперед заданного положительного числа.

bot · Сообщение **bot** » 14 янв 2012, 15:59

VAL писал(а):Source of the post
Но 108-и чисел может и не хватить

Вот что улыбка означает? Сказано или нет, что 109 - это минимум?

108 чисел, квадраты которых несравнимы по модулю 561, можно выбрать по китайской теореме об остатках.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 14 янв 2012, 17:34

vicvolf писал(а):Source of the post
Думаю, что условие задачи не совсем корректно. Надо добавить, что "для любых первых n чисел"

Вы подгоняете условие под своё "не совсем корректное" (тоесть неверное) решение.

vicvolf писал(а):Source of the post
так как можно выбрать и 109 и любое другое число натуральных чисел, не удолетворяющих данному условию. Просто из любого списка последовательных натуральных чисел можно удалить числа, которые удолетворяют данному условию и сделать выборочный список длиной больше любого наперед заданного положительного числа.

Нельзя выбрать и нельзя сделать...

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 31 янв 2012, 14:13

VAL писал(а):Source of the post
Идею изложил Hottabych.
Чуть подробнее так:
Если - нечетное простое число, то по модулю , очевидно, будет $\frac{p+1}2$ квадратов.

По теореме 202 (Бухштаб) в этом случае будет $\frac{p-1}2$ квадратов

VAL писал(а):Source of the post
Если , то число является квадратом по модулю тогда и только тогда, когда оно будет квадратом по модулям и .

Это символ Якоби, а он будет равен 1, когда символы Лежадра равны не только 1, но и -1.
В данном случае имеем произведение не двух, а трех символов Лежадра:
$(\frac {a} {561})= (\frac {a} {3})(\frac {a} {11})(\frac {a} {17})$ , поэтому он равен 1, когда не только все 3 символа Лежадра равны 1, но и когда один из них равен 1, а остальные 2 равны -1.
Случаев когда (a/3) равен 1 по теореме 202 будет 1, и -1 столько же.
Случаев когда (a/11) равен 1 по теореме 202 будет 5, и -1 столько же.
Случаев когда (a/17) равен 1 по теореме 202 будет 8, и -1 столько же.
Вот и давайте считать!

yourdomain.com