5) Матрицы перехода ...
A в чём проблема? Есть два базиса
и
. Любой вектор
можно разложить по базису
. Коэффициенты в разложении вектора называются координатами этого вектора в базисе
и из них можно составить координатный столбец
, a само разложение вектора
в базисе записать в виде
. Матрица перехода
от базиса
к базису
по определению составлена из координатных столбов векторов
в базисе
:
, a сам переход в матричной форме можно записать так:
(*)
Если векторы базисов
и
сами заданы своими координатами в некотором базисе
, то это означает, что заданы матрицы перехода от базиса
к базисам
и
:
и
, подставив в (*) получаем
Законность матричной записи, в частности ассоциативности, вполне очевидна.
Так как
- это базис, то в последнем равенстве на
можно сократить.
Аналогичным образом проверяется, что при двух последовательных переходах от одного базиса к другому, a потом к третьему, матрицы переходов перемножаются.
6) Какая то полная смерть ...
Надо просто взять какой-нибудь базис, к примеру
, и подвергнуть его процессу ортогонализации Грама-Шмидта - фактически это означает выбрать линейную функцию
, ортогональную к 1, a затем квадратный трёхчлен
, ортогональный к 1 и к
.[/quote]
7) Пусть D, S, L - операторы ...
Тождественный оператор перестановочен c любым, отсюда перестановочны не только
и
, но и любые их степени. Неперестаночность
и
обнаруживается сразу - ткните наугад, кроме нуля.
Неперестановочность
и
очевидна отсюда:
Попутно: в силу перестаночности
и
оператор
можно расписать по биному.