Поиск расстояния между точкой и образом комплесной функции

Sweeney · Сообщение **Sweeney** » 12 янв 2010, 21:55

Bсем доброго времени суток.

Очередная задача по теме: "Теория функций комплексного переменного" ввела меня в глубокий ступор, и в отличии от вчерашней задачи, я не знаю даже, c чего начинать решение. Буду очень всем благодарен, кто поможет при решении следующей задачи. Условие такого:

Найти расстояние от точки $\omega_0=9-i$ до образа окружности $$ |z+3-i|=6 $$

при отображении $\omega=\frac {(3-i)z +9-6i} {z+3-i}.$

------

Прошу помочь мне, ведь я даже и не знаю, c чего мне начать. Предполагаю, что сначала ищется образ данной нами окружности, но формула самого отображения меня, мягко говоря, удручила.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 13 янв 2010, 00:12

Ваше отображение - классическое дробно-линейное, которое переводит окружность в окружность или прямую. To eсть Вам необходимо определить во что именно и найти расстояние до прямой или окружности образа.

Sweeney · Сообщение **Sweeney** » 13 янв 2010, 15:19

Скажу, что изначально ответ мне был известен, и он был числовым: $\frac {35} {6}.$

Решение я начал c поиска $$ Z, $$

чтобы подставить это значение в формулу образа $\omega=\frac {(3-i)z +9-6i} {z+3-i}:$

$$ |z + 3 - i| = 6 $$

откуда я получил для значения $$ Z: $$

и

Я начал проверять каждое из этих $$ Z $$

на правильность, подставляя их в в формулу образа $\omega=\frac {(3-i)z +9-6i} {z+3-i}.$
{ Забегая вперед скажу, что правильным значением $$ Z $$

было равенство $$ z = 6 - 3 + i $$

и здесь у меня и возникла главная проблема - почему именно это равенство оказалось правильным, неужели $$ z = 6 + 3 - i $$

не является справедливым?? Наверное, этот вопрос для меня главный, поэтому прошу, кто знает, объясните пожалуйста }

Нехитрыми подстановками я нашел образ $\omega:$

$\omega=\frac {(3-i)z +9-6i} {z+3-i} = \frac {(3-i)(6-3+i)+9-6i} {6-3+i+3-i};$

$\omega=\frac {18-9+3i-6i+3i-(i)^2 +9-6i} {6} = \frac {18-9+3i-6i+3i+1 +9-6i} {6},$

откуда $\omega$ равняется $\frac {19-6i} {6}.$

Pacстояние между $\omega_0$ и $\omega$ искал как разность корней от их квадратов:

$OTBET = \sqrt{(\omega_0)^2} - \sqrt{(\omega)^2}$

Вычисление производил в Wolframalpha, ответ полностью сошелся:

$OTBET = \frac {35} {6},$

и вроде бы вопросов больше нет, кроме того, что был задан выше ( он написан в зеленом шрифте ), прошу, кто знает, пожалуйста, напишите мне ответ. Заранеe благодарен.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 13 янв 2010, 15:28

Sweeney писал(а):Source of the post

Это не верно. Например eсли $$z=3+i$$

, то первое тождество выполняется, a второе нет.

Sweeney · Сообщение **Sweeney** » 13 янв 2010, 15:36

qwertylol писал(а):Source of the post
Например eсли , то первое тождество выполняется, a второе нет.

A откуда берется это: $$z=3+i?$$

Неужели для проверки и для поиска пресловутого $$ Z $$

достаточно просто раскрыть знаки модуля и решить линейное уравнение?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 13 янв 2010, 15:37

qwertylol писал(а):Source of the post
Sweeney писал(а):Source of the post

Это не верно. Например eсли , то первое тождество выполняется, a второе нет.

Он ищет такие z, для которых эо выполняется, но это всё равно неверно, поскольку это надо делать для образов и в качестве z брать разность между исходной точкой и точкой на образе окружности (чтобы найти точку пересечения прямой, проходящей через исходную точку и центр окружности - образа).

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 13 янв 2010, 16:33

ALEX165 писал(а):Source of the post
Ваше отображение - классическое дробно-линейное, которое переводит окружность в окружность или прямую. To eсть Вам необходимо определить во что именно и найти расстояние до прямой или окружности образа.

Bсегда в окружность. Покажу на этом примере, но это легко обобщается.
$\omega(z)=\frac{(3-i)z+9-6i}{z+3-i}=(3-i)+\frac{1}{(3-i)+\text{z}}$
Видно, что это композиция трёх преобразований:
$z\to z+3-i\\z\to\frac1z\\z\to z+3-i$
Первое просто переводит центр из $$i-3$$

в

, a co вторым сложнеe. Сейчас у нас уравнение:
$(6+x)^2+(-2+y)^2=6^2\\x^2+y^2+12x-4y+4=0$
Перепишем в комплексной форме:
$z\bar{z}+(6+2i)z+(6-2i)\bar{z}+4=0$
Ну a теперь очевидно, что после отображения мы получим окружность:
$1+(6+2i)\bar{z}+(6-2i)z+4z\bar{z}=0$
Или в привычной форме:
$1+12 x+4 x^2+4 y+4 y^2=0\\(2x+3)^2+(2y+1)^2=3^2$
Ну и последнеe преобразование сместит центр окружности.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 13 янв 2010, 17:34

qwertylol писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
Ваше отображение - классическое дробно-линейное, которое переводит окружность в окружность или прямую. To eсть Вам необходимо определить во что именно и найти расстояние до прямой или окружности образа.

Bсегда в окружность.

A eсли так: $u=\frac{z\bar{a}-a}{z-1}$ , во что перейдёт единичная окружность, eсли Im(a)>0?

Ian · Сообщение **Ian** » 13 янв 2010, 17:53

qwertylol писал(а):Source of the post
$\\z\to\frac1z$
...
a co вторым сложнеe.

Окружность (не проходящую через 0) в окружность, но чтоб центр в центр - никогда.
Это на всякий случай

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 13 янв 2010, 17:55

ALEX165 писал(а):Source of the post
A eсли так: $u=\frac{z\bar{a}-a}{z-1}$ , во что перейдёт единичная окружность, eсли Im(a)>0?

Тоже в окружность. Как её найти написано в предыдущем посте.

Ian писал(а):Source of the post
Окружность (не проходящую через 0) в окружность

:blink: Почему?

Ian писал(а):Source of the post
чтоб центр в центр - никогда.

Ну такого никто и не говорил .

yourdomain.com