Умножение множеств

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 23 дек 2007, 20:12

Ну покажу на примере: $(A \cap B ) \times C=(A \times C) \cap (B \times C)$ .
Ну и как доказать справедливость этого равенства? Я не знаю как можно его формально преобразовать. И вообще мне не ясена суть произведения, смотрите: даны множества A={1,2,3} и B={3,4,5}, тогда множеством AxB , будет C={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5)}. Ну и как это будет выглядить на диаграммах Эйлера-Венна? И кто вообще эти диаграммы видел? Я лично нигде нормальной статьи на эту тему не нашёл.
P.S. A чего это у вас c тегами?

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 23 дек 2007, 20:42

qwertylol писал(а):Source of the post
Ну покажу на примере: $(A \cap B ) \times C=(A \times C) \cap (B \times C)$ .
Ну и как доказать справедливость этого равенства?
P.S. A чего это у вас c тегами?

Формально, доказывается так. Доказать равенство - это доказать два следствия:
1) $<x,y>\in (A \cap B ) \times C \to <x,y> \in (A \times C ) \cap (B \times C )$
$<x,y>\in (A \cap B ) \times C \to ( x \in (A \cap B )) & (y \in C) \to \\ \to ( (x\in A) & (x \in B ) ) & (y \in C) \to ((x\in A) & (y \in C))&((x \in B ) & (y \in C)) \to \\ \to (<x,y> \in (A\times C)) & (<x,y> \in (B \times C)) \to <x,y> \in (A \times C) \cap (B \times C)$
2) $<x,y>\in (A \times C ) \cap (B \times C ) \to <x,y> \in (A \cap B ) \times C$
Попробуйте это доказать самостоятельно

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 23 дек 2007, 21:32

a_l_e_x, большое спасибо, что вы откликнулись, но к сожалению я ничего не понял . Смотрите: $<x,y>\in (A \cap B ) \times C \to ( x \in (A \cap B )) & (y \in C)$ , но мне кажется, что ваше следствие равносильно $<x,y>\in (A \cap B ) \cap C$ . Ho это не так, ведь коньюнкция и умножение это совершенно разные операции.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 23 дек 2007, 22:14

qwertylol писал(а):Source of the post
a_l_e_x, большое спасибо, что вы откликнулись, но к сожалению я ничего не понял . Смотрите: $<x,y>\in (A \cap B ) \times C \to ( x \in (A \cap B )) & (y \in C)$ , но мне кажется, что ваше следствие равносильно $<x,y>\in (A \cap B ) \cap C$ . Ho это не так, ведь коньюнкция и умножение это совершенно разные операции.

Нет операция & - операция над высказываниями a $\cap$ над множествами.
Смотрите, равенство
$(A \cap B ) \times C=(A \times C) \cap (B \times C)$ означает равенство двух пар множеств. Как доказать равенство множеств? Для этого необходимо и достаточно показать что если мы возьмем пару из первого множества, то она также будет входить и во второе множество и наоборот.
Докажем что если пара $<x,y>\in (A \cap B ) \times C$ , то она также принадлежит и множеству $(A \times C ) \cap (B \times C )$ . Поскольку $<x,y>\in (A \cap B ) \times C$ , то, по определению декартова произведения $x\in (A \cap B )$ и $y \in C$ . Поскольку $x\in (A \cap B )$ , то $x\in A$ и $x\in B$ . Поскольку $x\in A$ и $y \in C$ то $<x,y> \in A \times C$ . Поскольку $x\in B$ и $y \in C$ то $<x,y> \in B \times C$ . Поскольку $<x,y> \in A \times C$ и $<x,y> \in B \times C$ то $<x,y>\in (A \times C ) \cap (B \times C )$
Bce это только компактнее записано выше

yourdomain.com