многочлен и корни на (0;1)

taiga · Сообщение **taiga** » 13 сен 2007, 18:24

Здравствуйте!

Есть вопрос. Буду очень признателен за ответ:)

есть обычный многочлен вида
$$a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_n*x^n=0$$

a вопрос такой: какие ограничения нужно наложить на коэффициенты многочлена, чтобы на интервале (0;1) он имел только один корень?

мне кажется, что задача не из простых и решение в какой-либо (хотябы неявной) форме дать очень сложно... поэтому и обращаюсь.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 15 сен 2007, 19:59

taiga писал(а):Source of the post
Здравствуйте!

Есть вопрос. Буду очень признателен за ответ:)

есть обычный многочлен вида

a вопрос такой: какие ограничения нужно наложить на коэффициенты многочлена, чтобы на интервале (0;1) он имел только один корень?

мне кажется, что задача не из простых и решение в какой-либо (хотябы неявной) форме дать очень сложно... поэтому и обращаюсь.

Попробуйте начать c теоремы Декарта:
Число положительных корней, c учетом их кратностей, многочлена $f(x) \in \mathbb{R}[x]$ не превосходит числа перемен знака в последовательности его коэфициентов и сравнимо c ним по модулю 2. Если же все корни многочлена вещественны, то эти числа равны.

PS. A откуда, если не секрет, такая задача?

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 16 сен 2007, 17:42

taiga писал(а):Source of the post
есть обычный многочлен вида

a вопрос такой: какие ограничения нужно наложить на коэффициенты многочлена, чтобы на интервале (0;1) он имел только один корень?

Можно немного упростить задачу: если корень уравнения
$$f(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_n*x^n=0$$

на интервале (0;1) только один, то для уравнения $$f'(x)=0$$

на этом интервале корней быть не должно. Ho это мало приближает к цели

bot · Сообщение **bot** » 18 сен 2007, 17:58

Vlad_K писал(а):Source of the post
Можно немного упростить задачу: если корень уравнения

на интервале (0;1) только один, то для уравнения на этом интервале корней быть не должно. Ho это мало приближает к цели

Совсем не приблизит - это неверно. Многочлен $$f(x)=(2x-1)^2$$

сколько корней имеет на интервале (0; 1)? Остаётся одна возможность спасти утверждение - число корней считать, учитывая их кратность. Ho и это не помогает: $$f(x)=(2x-1)(4x-5)$$

.
Многочлен, удовлетворяющий желаемому свойству должен иметь в своём разложении на неприводимые лишь один множитель вида $x-\lambda$ при $\lambda \in (0;1)$ , корень каждого из остальных линейных множителей должен быть вне этого интервала.
Собсснно, это и есть харахтеристика указанного свойства. He представляю, чтобы раскрыв все скобки, и получив коэффициенты полинома, можно было бы это свойство охарактеризовать ограничениями на коэффициенты.

taiga · Сообщение **taiga** » 19 сен 2007, 17:12

[/quote]
PS. A откуда, если не секрет, такая задача?

[/quote]
Конечно, не секрет. Это из области финансов: (надеюсь не покажусь нудным, если немного коснусь азов...)

Есть такое понятие как NPV - net present value - это число, которым оченивается некий денежный поток. Например, вам дают 100 руб. каждый год в течение 10 лет. Вопрос: за какую сумму выплаченную вам сегодня вы продадите это поток? Теория говорит: "За NPV этого потока"

$NPV = \sum_{i=0}^{n}{\frac{CF_i}{(1+r)^i}$

где:
$$CF_i$$

- денежный поток i-го периода
r - ставка дисконтирования - её выбор - это отдельная задача; для простоты - банковская ставка

Дальше: для принятия решения o "качестве" какого-либо потока используют, в частности, показатель IRR - internal rate of return - это r при котором NPV=0 (чем больше IRR, тем больше "запас прочности" денежного потока)
A это уравнение после замены $\frac{1}{(1+IRR)}=x$ принимает вид многочлена(коэффициент многочлена при i-ой степени тождественен денежному потоку i-го периода), у которого, понятное дело, может быть несколько корней... a нам хотелось бы одно значение.
Будем рассматривать только те потоки для которых IRR>0, следовательно х $\in (0;1)$

Я конструировал многочлены, которые имеют 2 и 3 корня на (0;1), но всегда таким многочленам сопостовлялись "странные" денежные потоки, например, их сумма была крайне мала (0,006 при коэффициентах сравнимых c 1 или 2). Ha практике это означает, что не имеет смысла не то что искать IRR такого потока, a вообще его рассмативать (слишком низкая прибыльность).

Если бы удалось математически описать множество многочленов имеющих один (вещественный) корень на (0;1), что тоже самое, что описать множество многочленов имеющих на (0;1) более одного корня (на самом деле устроило бы условие "более двух"), то можно было бы попытаться проверить следующее утверждение: денежные потоки, для которых нельзя однозначно определить IRR заведомо неинтересны. Пока, на сколько я знаю, в экономической теории подобного утверждения нет.

можно, конечно, и другим путем пойти: привести контрпример...

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 19 сен 2007, 20:37

Возьмем за основу уравнение
$\sum_{i=0}^{n}{\frac{CF_i}{(1+r)^i}=0$
домножим на $$(1+r)^i$$

получим
$\sum_{i=0}^{n}{CF_i}(1+r)^{n-i}=0$
Если раскрыть скобки получим некоторый многочлен c новыми коэффициентами.
Требование к этим коэффициентам теперь будет формулироваться:
какие ограничения нужно наложить на коэффициенты многочлена, чтобы на интервале (0;бесконечность) он имел только один корень.

Тогда можно применить теорему

Правило знаков Декарта, — теорема, утверждающая, что число положительных корней многочлена c вещественными коэффициентами равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов или на чётное число меньше этого числа (корни считаются c учётом кратности, нулевые коэффициенты при подсчёте числа перемен знаков не учитываются).

Если известно, что все корни данного многочлена вещественны (как, например, для характеристического многочлена симметрической матрицы), то теорема Декарта даёт точное число корней. Рассматривая многочлен p( − x) можно c помощью этой же теоремы найти число отрицательных корней p(x).

Для
$$a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_n*x^n=0$$

приведу парочку тривиальных утверждений
1) если $$a_0=0$$

то имеем корень x=o, a что будет если $$a_0<0$$

?
2) если сумма коэффициентов равна нулю имеем корень x=1. A что будет если сумма коэффициентов больше нуля?

yourdomain.com