Сложная задача

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 17 июл 2007, 00:52

Решить в целых числах уравнение
$1+2^x+...+2^{2x+1}=y^2$

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 17 июл 2007, 02:32

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Решить в целых числах уравнение
$1+2^x+...+2^{2x+1}=y^2$

Поскольку ур-ние сводится к такому:
$2^x\left(1+2+2^2+...+2^{x+1}\right)=y^2-1$

или
$2^x\left(4*2^x - 1\right)=(y+1)(y-1)$

то получаем, что справа число всегда четное, слева - нечетное. За исключением случая, когда $$2^x=1, -> x= 0$$

Отсюда ответ $$x=0,y=2$$

alexpro · Сообщение **alexpro** » 17 июл 2007, 04:28

Vlad_K писал(а):Source of the post
...или $2^x\left(4*2^x - 1\right)=(y+1)(y-1)\ (*)$

то получаем, что справа число всегда четное, слева - нечетное. За исключением случая, когда

Отсюда ответ

Уравнение (*) получено верно. Однако далее надо более детально провести доказательство.

Так как числа $$2^x$$

и

взаимно просты, то $x\geq 0$ , так как число $$(y+1)(y-1)$$

целое. Если $$x=0$$

, то

, и потому $y=\pm 2$ .

Далее, пусть $$x>0$$

. Тогда

- нечетно, т.e. $$y=2z+1.$$

Из (*) имеем, что $2^x\left(4*2^x - 1\right)=4z(z+1).$ Значит, $x\geq 2$ , и

$2^{x-2}\left(4*2^x - 1\right)=z(z+1)\ (**).$

Если $$x=2$$

, то получается уравнение $$15=z(z+1)$$

, не имеющее решение в целых числах, a потому $$x>2$$

. Следовательно, ввиду взаимной простоты чисел $$z$$

и

одно из них делится на $2^{x-2}$ . B зависимости от того, $z=2^{x-2}\cdot z_1$ или $z+1=2^{x-2}\cdot z_1$ мы получим из (**), что $2^{x+2}-1=2^{x-2}\cdot z_1^2\pm z_1.$ Переписывая это равнество по-другому, получим

$2^{x-2}(16-z_1^2)=\pm z_1 -1,$ или

$\pm2^{x-2}(z_1-4)(z_1+4)=(z_1\pm 1).$

Так как обе части последенего равенства не могут равняться нулю, получаем, что число $$(z_1-4)(z_1+4)$$

делит ненулевое число $z_1\pm 1.$ Противоречие, так как одно из чисел $$z_1-4, z_1+4$$

больше по модулю числа $z_1\pm 1.$

Ответ: Уравнение имеет два решения: $(x,y)=(0,\pm2).$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 17 июл 2007, 21:11

Как отмечено ранее, левая часть имеет вид $A = 2^{2x+2} - 2^x + 1$ .
Однако,
$(2^{x+1} - 1)^2 = 2^{2x+2} - 2^{x+2} + 1\leq A \leq 2^{2x+2} = (2^{x+1})^2.$
и равенство может выполняться только если $$ x = 0 $$

.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 17 июл 2007, 23:30

AV_77 , alexander_pro верно, +1.
Попробуйте тогла решить задачку попроще
$1+2^x+2^{2x+1}=y^2$
Тоже решить в целых числах

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 18 июл 2007, 00:21

Кстати, одна из задач, которые вы решали:
"Найти все целые, взаимно простые числа [a,\b] такие, что $\left(\frac{a+ib}{a-ib}\right)^n = 1$ для некоторого натурального числа n"
имеет одно приложение.

Получается, что можно доказать, что ур-ние
$\frac{b}{a} = tg\left(\frac{\pi k}{n}\right)$
не имеет решения для взаимно простых $(a, \b)$ и (k, n), a&b > 1,
то есть если угол выражен в градусах или в рациональных долях градуса, то тангенс этого угла не может принимать рациональных значений (за исключением $tg\alpha = 1$ )

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 18 июл 2007, 00:42

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
AV_77 , alexander_pro верно, +1.
Попробуйте тогла решить задачку попроще
$1+2^x+2^{2x+1}=y^2$
Тоже решить в целых числах

Получается то же самое
Поскольку ур-ние приводится к виду:
$$z(1 + 2z) = (|y| - 1)(|y| + 1); z = 2^x$$

то из положительности z однозначно следует:
$$z = |y| - 1; (1 + 2z) = |y| + 1$$

откуда решение
$$z = 1 => x = 0 => |y| = 2$$

alexpro · Сообщение **alexpro** » 18 июл 2007, 04:13

Vlad_K писал(а):Source of the post
Получается то же самое
Поскольку ур-ние приводится к виду:

то из положительности z однозначно следует:

откуда решение

Однозначность слегка не так надо трактовать

.

Действуя "старым" методом, придем к уравнению

$2^{x-2}(z_1^2-8)=\mp z_1-1,$

где выбор знака зависит от того, либо $z=2^{x-2}z_1$ , либо $z+1=2^{x-2}z_1$ . Если целое число $$z_1$$

таково, что $|z_1|\geq 4$ , то $|z_1^2-8|>\pm z_1-1$ и потому решений не существует. Перебором устанавливается, что существуют еще решения тогда и только тогда, когда $z_1=\pm 3$ . B этих случаях получаем, что $y=\pm 23$ , a $$x=4.$$

Ответ: $(0,\pm 2)$ и $(4,\pm 23).$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 18 июл 2007, 13:10

Верно. +1 (завтра)
He думал, что эту задачу так быстро решат

yourdomain.com