разновидность "квадратнь1х" уравнений

peter_PP · Сообщение **peter_PP** » 16 фев 2015, 13:06

Здравствуйте, могли бь1 вь1 навести на мь1сль как решаются такого вида уравнения. Тип равнения следующий
$$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=z$$

Toeсть имеется ли способ решения таких уравнений, не включающий раскрь1вания скобок и получения уравнения 4ой степени?

peter_PP · Сообщение **peter_PP** » 16 фев 2015, 14:23

Чтоб бь1ть более конкретнь1м уточню, уравнение следующее
$$(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=1680$$

Возможно ли зто решить не переводя его в 4-ую степень многочлен?

zam2 · Сообщение **zam2** » 16 фев 2015, 15:10

Раскладываем $$1680$$

на простые сомножители: $1680=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$ .
Теперь из них нужно составить четыре сомножителя, которые следуют один за другим. $5\cdot \left ( 2\cdot 3 \right )\cdot 7\cdot \left ( 2\cdot 2\cdot 2 \right )=5\cdot 6\cdot 7\cdot 8=1680$ . И один корень уже ясен: $$x=1$$

.
А можно и так: $\left ( -5 \right )\cdot \left (-2\cdot 3 \right )\cdot\left ( -7 \right )\cdot \left (- 2\cdot 2\cdot 2 \right )=(-5)\cdot (-6)\cdot (-7)\cdot (-8)=1680$ , и второй корень ясен: $$x=-11$$

.
Но можно и по-другому. Подстановка: $$x=y-5.5$$

. Получаем:
$\left ( y-1.5 \right )\left ( y-0.5 \right )\left ( y+0.5 \right )\left ( y+1.5 \right )=1680$ .
$\left ( y^2-2.25 \right )\left ( y^2-0.25 \right )=1680$ .
Биквадратное уравнение, стандартно решается.

peter_PP · Сообщение **peter_PP** » 16 фев 2015, 15:23

zam2, да Вь1 бриллиантен! То что нужно как раз, спасибо огромное!!

yourdomain.com