Количество вещественных корней многочлена

Аватар пользователя
Anti
Сообщений: 56
Зарегистрирован: 10 апр 2010, 21:00

Количество вещественных корней многочлена

Сообщение Anti » 04 дек 2012, 17:33

Доброе время суток.
Подскажите, как найти количество корней данного многочлена:
$$\frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{x^n}{n!}$$
Очевидно, что 0, если n - чётно, и 1, если n нечётно. Но как это доказать?
Последний раз редактировалось Anti 28 ноя 2019, 15:17, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

mihailm
Сообщений: 3078
Зарегистрирован: 11 май 2010, 21:00

Количество вещественных корней многочлена

Сообщение mihailm » 04 дек 2012, 18:31

Anti писал(а):Source of the post
...
Очевидно, что 0, если n - чётно, и 1, если n нечётно. Но как это доказать?

Вы ж сами пишете - очевидно
Последний раз редактировалось mihailm 28 ноя 2019, 15:17, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Anti
Сообщений: 56
Зарегистрирован: 10 апр 2010, 21:00

Количество вещественных корней многочлена

Сообщение Anti » 04 дек 2012, 18:39

Мне то очевидно, а вот преподу это "не очевидно", ему нужны доказательства. Показать графики функций не прокатит.
Последний раз редактировалось Anti 28 ноя 2019, 15:17, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

mihailm
Сообщений: 3078
Зарегистрирован: 11 май 2010, 21:00

Количество вещественных корней многочлена

Сообщение mihailm » 04 дек 2012, 19:45

вы вообще понимаете, что значит очевидно в математическом тексте???
Последний раз редактировалось mihailm 28 ноя 2019, 15:17, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vicvolf
Сообщений: 3155
Зарегистрирован: 13 ноя 2009, 21:00

Количество вещественных корней многочлена

Сообщение vicvolf » 04 дек 2012, 22:09

Anti писал(а):Source of the post
Подскажите, как найти количество корней данного многочлена:
$$\frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{x^n}{n!}$$
Очевидно, что 0, если n - чётно, и 1, если n нечётно. Но как это доказать?

x=0 корнем этого многочлена никогда не является, так в 0 он всегда равен 1. При x>0 многочлен больше или равен 1, так как является суммой 1 и положительных чисел. Корни могут быть только при x<0. Если n четно, то корней многочлен не имеет, так как каждый член последовательности с четной степенью по модулю больше предыдущего с нечетной. Если n нечетно, то при отрицательном x имеется корень, так как каждый последующий член с нечетной степенью по модулю больше предыдущего с четной при x больше или равным по модулю 1, т.е корень меньше или равен -1.
Последний раз редактировалось vicvolf 28 ноя 2019, 15:17, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
zykov
Сообщений: 1777
Зарегистрирован: 02 ноя 2009, 21:00

Количество вещественных корней многочлена

Сообщение zykov » 05 дек 2012, 01:56

Anti писал(а):Source of the post
Но как это доказать?

По индукции.
1) $$P_n&#39;=P_{n-1}$$
2) $$P_n=P_{n-1}+x^n/n!$$

Если чётный положителен, то следующий нечётный строго возрастает и имеет ровно 1 корень.
Если нечётный имеет ровно 1 корень, то следующий чётный имеет ровно 1 минимум в корне этого нечётного и равен нулю плюс $$x_0^n/n!$$.

vicvolf писал(а):Source of the post
Если n четно, то корней многочлен не имеет, так как каждый член последовательности с четной степенью по модулю больше предыдущего с нечетной.

Это не так.
Последний раз редактировалось zykov 28 ноя 2019, 15:17, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Anti
Сообщений: 56
Зарегистрирован: 10 апр 2010, 21:00

Количество вещественных корней многочлена

Сообщение Anti » 05 дек 2012, 16:22

Нужно найти не корни, а количество корней. Ответ мне известен, с помощью компьютера нетрудно узнать, но его нужно доказать... А как - не имею представления.
Последний раз редактировалось Anti 28 ноя 2019, 15:17, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

mihailm
Сообщений: 3078
Зарегистрирован: 11 май 2010, 21:00

Количество вещественных корней многочлена

Сообщение mihailm » 05 дек 2012, 19:10

Anti писал(а):Source of the post
Нужно найти не корни, а количество корней. Ответ мне известен, с помощью компьютера нетрудно узнать, но его нужно доказать... А как - не имею представления.

вы что издеваетесь?
Последний раз редактировалось mihailm 28 ноя 2019, 15:17, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vicvolf
Сообщений: 3155
Зарегистрирован: 13 ноя 2009, 21:00

Количество вещественных корней многочлена

Сообщение vicvolf » 06 дек 2012, 08:01

Anti писал(а):Source of the post
Нужно найти не корни, а количество корней. Ответ мне известен, с помощью компьютера нетрудно узнать, но его нужно доказать... А как - не имею представления.

Я же написал в сообщении!
Последний раз редактировалось vicvolf 28 ноя 2019, 15:17, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Алгебра и теория чисел»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость