Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

andrey9517 · Сообщение **andrey9517** » 16 окт 2012, 20:06

Здравствуйте.Имеется уравнение кривой второго порядка: x^2+y^2-4xy-4x-y+3=0. Необходимо привести его к каноническому виду. Я сначала нашел центр новой системы координат. Заменил x=x'+x0, y=y'+y0. Это будет точка (-1,-3/2). Потом начал находить угол, на который нужно повернуть оси. Опять ввел замену: x'=x"cos(a)-y"sin(a). y'=x"sin(a)+y"cos(a). В итоге получил квадратное уравнение, тангенс альфа равен (1+sqrt5)/2. И дальше пошло ещё больше иррациональности, в итоге там числа с корнями.Привести к каноническому виде не получилось. Хотел попробовать нарисовать график в интернете, но при вводе формулы выдает ошибку... Получается, кривая второго порядка, это не функция? Подскажите,пожалуйста, как мне выпутаться из этой ситуации?

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 16 окт 2012, 20:15

У вас с чем проблемы-то возникли? С поворотом на нужный угол?

VAL · Сообщение **VAL** » 17 окт 2012, 10:05

andrey9517 писал(а):Source of the post
Имеется уравнение кривой второго порядка: x^2+y^2-4xy-4x-y+3=0. Необходимо привести его к каноническому виду. Я сначала нашел центр новой системы координат. Заменил x=x'+x0, y=y'+y0. Это будет точка (-1,-3/2). Потом начал находить угол, на который нужно повернуть оси. Опять ввел замену: x'=x"cos(a)-y"sin(a). y'=x"sin(a)+y"cos(a). В итоге получил квадратное уравнение, тангенс альфа равен (1+sqrt5)/2. И дальше пошло ещё больше иррациональности, в итоге там числа с корнями.Привести к каноническому виде не получилось. Хотел попробовать нарисовать график в интернете, но при вводе формулы выдает ошибку... Получается, кривая второго порядка, это не функция?

Не функция. Функция не может принимать разные значения при одном значении аргумента.
Но построить кривую по уравнению, разумеется, можно.

Подскажите,пожалуйста, как мне выпутаться из этой ситуации?

Для начала правильно найдите угол поворота. В Вашем случае он хороший.

andrey9517 · Сообщение **andrey9517** » 17 окт 2012, 13:08

VAL писал(а):Source of the post
andrey9517 писал(а):Source of the post
Имеется уравнение кривой второго порядка: x^2+y^2-4xy-4x-y+3=0. Необходимо привести его к каноническому виду. Я сначала нашел центр новой системы координат. Заменил x=x'+x0, y=y'+y0. Это будет точка (-1,-3/2). Потом начал находить угол, на который нужно повернуть оси. Опять ввел замену: x'=x"cos(a)-y"sin(a). y'=x"sin(a)+y"cos(a). В итоге получил квадратное уравнение, тангенс альфа равен (1+sqrt5)/2. И дальше пошло ещё больше иррациональности, в итоге там числа с корнями.Привести к каноническому виде не получилось. Хотел попробовать нарисовать график в интернете, но при вводе формулы выдает ошибку... Получается, кривая второго порядка, это не функция?
Не функция. Функция не может принимать разные значения при одном значении аргумента.
Но построить кривую по уравнению, разумеется, можно.
Подскажите,пожалуйста, как мне выпутаться из этой ситуации?
Для начала правильно найдите угол поворота. В Вашем случае он хороший.

Спасибо большое. Я ошибся в вычислениях. Получился угол 60 градусов. Теперь получилось уравнение такое:
x"^2(1-sqrt3)+y"^2(1+sqrt3)+5,75=0.
Как тут можно разделить ( преобразовать, что бы получить окончательное каноническое уравнение)?

VAL · Сообщение **VAL** » 17 окт 2012, 18:05

andrey9517 писал(а):Source of the post
Я ошибся в вычислениях. Получился угол 60 градусов.

60 градусов, конечно, хороший угол. Но тоже неправильный.

andrey9517 · Сообщение **andrey9517** » 18 окт 2012, 17:19

VAL писал(а):Source of the post
andrey9517 писал(а):Source of the post
Я ошибся в вычислениях. Получился угол 60 градусов.
60 градусов, конечно, хороший угол. Но тоже неправильный.

Спасибо,опять я ошибся. Получился угол 45 градусов. Подставил значения sin и cos(a) и получил такое уравнение:
x"^2-3y"^2=23/4.
А теперь как мне его преобразовать? Числа всё равно нехорошие...

VAL · Сообщение **VAL** » 20 окт 2012, 19:08

andrey9517 писал(а):Source of the post
Получился угол 45 градусов. Подставил значения sin и cos(a) и получил такое уравнение:
x"^2-3y"^2=23/4.

Теперь, похоже, верно.

А теперь как мне его преобразовать?

Принято записывать уравнение в виде $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Числа всё равно нехорошие...

Лучше не будет.

yourdomain.com