Сумма комплексных чисел

antacid1 · Сообщение **antacid1** » 22 янв 2012, 20:17

z - некий корень n-ной степени из 1.
Нужно упростить выражение:
$$1+2z+3z^2+...+nz^n^-^1$$

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 22 янв 2012, 20:20

1. Проинтегрируйте
2. Сложите по формуле арифметической прогрессии
3. Продифференцируйте
4. Вычислите с учетом того, что такое $$z$$

laplas · Сообщение **laplas** » 22 янв 2012, 20:41

Hottabych, а почему арифметическая прогрессия? там же геометрическая получится.

antacid1 · Сообщение **antacid1** » 22 янв 2012, 21:04

Интегрировать мне пока что нельзя

Вот что придумал:
$$s =1+2z+3z^2+...+nz^n^-^1$$

Такое подозрение, что первая скобка второго равенства дает либо 0, если n - четное, либо 1, если n - нечетное
Т.о. отсюда можно просто выразить s.

Правда?

И, кстати, интегрировать по константе нельзя же..?

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 22 янв 2012, 21:07

laplas писал(а):Source of the post
Hottabych, а почему арифметическая прогрессия? там же геометрическая получится.

Выпимши был! И вообще то был не я, а однофамилец!

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 22 янв 2012, 21:12

antacid1 писал(а):Source of the post
Интегрировать мне пока что нельзя

Вот что придумал:

Такое подозрение, что первая скобка второго равенства дает либо 0, если n - четное, либо 1, если n - нечетное
Т.о. отсюда можно просто выразить s.

Правда?

И, кстати, интегрировать по константе нельзя же..?

Вот у вас в левой скобке и геометрическая прогрессия. А правую можно раскрыть, и тогда у нас z будет в нной степени, а по условии это равно...

antacid1 · Сообщение **antacid1** » 23 янв 2012, 06:33

Нулю вообще первая скобка равна? Интересно получается...

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 23 янв 2012, 07:00

Многочлен с корнями $1, \zeta, ... , \zeta ^{n-1}$ - это $$f(x)=x^n-1$$

- у него все коэффициенты кроме свободного члена равны нулю. Поэтому соответствующие симметрические многочлены (в частности сумма) от $1, \zeta, ... , \zeta ^{n-1}$ равны нулю. Веселые числа. Можно для заданного $$n$$

рассмотреть только сумму $\zeta ^k , \gcd (k,n)=1$ - она тоже равна нулю

дед пыхто

yourdomain.com