Проективный модуль

JeffLebovski

Доказать, что модуль $\mathbb{Z}_m$ проективен над кольцом $\mathbb{Z}_{mn}$ , если $\gcd(m,n)=1$ . Будет ли он свободным?

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 15 янв 2012, 17:04

А что такое "проективный модуль", "свободный модуль"?
Это из гомологической алгебры?

JeffLebovski

В книге дано такое определение:
Модуль $$P$$

называется проективным, если каждую диаграмму
$\xymatrix{&P\ar[d]^{\gamma}\\B\ar[r]^{\sigma}&C}$
с эпиморфизмом $\sigma$ можно сделать коммутативной.
Что-то вообще не пойму как подойти.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 15 янв 2012, 18:09

Не понял. Просто "Модуль проективен" или "модуль проективен над кольцом"?
Проще говоря $\mathbb{Z}_{mn}$ - это $$B$$

или

или как-то еще.

fri739 · Сообщение **fri739** » 15 янв 2012, 18:27

Пусть

,

- произвольные $\mathbb{Z}_{mn}$ -модули, $\sigma:B\to C$ - эпиморфизм, $\gamma:\mathbb{Z}_m\to C$ произвольный гомоморфизм $\mathbb{Z}_{mn}$ модулей. Надо построить гомоморфизм $\phi:\mathbb{Z}_m\to B$ такой, что $\sigma\circ \phi=\gamma$ (*). Так как модуль $\mathbb{Z}_m$ порожден одним элементом, который мы обозначим $$1$$

, то достаточно указать, чему должно равняться $\phi(1)$ , чтобы выполнялось (*). Теперь заметим, что в качестве $\phi(1)$ можно взять любой элемент из прообраза $\sigma^{-1}(\gamma(1))$ (так как $\sigma$ сюръективно, то этот прообраз не пуст). Так что всегда можно построить $\phi$ с необходимыми свойствами, и это значит, что $\mathbb{Z}_m$ проективен как модуль над $\mathbb{Z}_{mn}$ .

yourdomain.com