разбор тезисов из методички заочника матфака

Ответить на сообщение
IHmG
Сообщений: 7
Зарегистрирован: 03 янв 2012, 21:00

разбор тезисов из методички заочника матфака

Сообщение IHmG » 04 янв 2012, 12:43

Вопрос
1) Тезис ниже (оформленный цитатой). Зачем оправдывать выбор обозначения и каким образом утверждение здесь оправдано?
2) Какие материалы полезно посмотреть еще?


Вместо лирического вступления



В методичке по дисциплине "Линейная алгебра и геометрия" (Многомерные пространства) на заочном отделении математического факультета есть множество утверждений, которые

в силу жанра не совсем ясны рядовому студенту. Пробовал разбираться сам, вместе с однокурсниками, мучил вопросами автора. Но из-за работы к автору на набегаешься. Вот

поэтому вынужден просить помощи здесь (на специализированном форуме). Уже когда писал это сообщение стало что-то проясняться в сознании. Но хотелось бы получить некий

аналог обратной связи, чтобы убедиться в правильности своего восприятия в частном вопросе и быть может найти более постоянную помощь. Мне не нужно просто решение

задач, хотелось бы, чтобы что-то осталось в голове... но и баланс найти важно. Сейчас цель получить документ об образовании стоит достаточно остро... а вот хвостов

накопилось В моем случае хвосты появляются в том числе из-за того, что "зарываюсь" в материал, при этом реально нет возможности столько времени расходовать на

учебу. Все подробности могу сообщить в личной переписке.



Аффинная система координат и формулы перехода

Определение 1.

Аффинной системой координат (в дальнейшем АСК) в $$ A_n$$ называется упорядоченный набор точек $$O, E_1$$, ... $$ E_n$$, таких, что $$ \overrightarrow{OE_i}=\overrightarrow{e_i}$$ образуют векторный базис пространства переносов $$ V_n$$

Иначе, АСК - это набор из одной точки $$ O$$ (начало АСК) и векторного базиса $$\overrightarrow{e_1}$$, ... $$ \overrightarrow{e_n}$$

Определение 2.
Координатами точки M относительно АСК {$$O\overrightarrow{e_i}$$} называются координаты ее радиус-вектора $$\overrightarrow{OM}$$ относительно

векторного базиса $$e_1$$, ... $$ e_n$$

Здесь и далее договоримся координаты обозначать буквами с индексами наверху, причем в любом выражении, содержащем индекс один раз вверху и один раз внизу, производить

суммирование по этому индексу от 1 до n. Тогда из $$\overrightarrow{OM}=x^i\overrightarrow{e_i}$$ следует, что координаты точки $$M$$ будут числа

$$x_1$$, ... $$ x_n$$

Предложение.
Пусть в АСК $$ {O\overrightarrow{e_i}}$$ координаты точек $$P$$ и $$Q$$ будут соответственно, $$p_i$$ и $$q_i$$. Тогда

координатами вектора $$\overrightarrow{PQ}$$ служат числа $$q_i-p_i$$

Доказательство
В самом деле, если $$P=(p^i), Q= (q^i)$$, то это значит, что $$\overrightarrow{OP}=p^i\overrigharrow{e_i}; \overrightarrow{OQ}=q^i\overrigharrow{e_i} $$ . тогда $$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}$$, откуда следует, что $$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}- \overrightarrow{OP}=q^i\overrightarrow{e_i}-p^i\overrightarrow{e_i}=(q^i-p^i)\overrightarrow{e_i}$$

Заметим, что если $$P=(p^i), \overrightarrow{v}=(v^i)$$, то точка $$Q=p+\overrightarrow{v}$$ имеет координаты $$p^i+v^i$$, что

оправдывает выбор обозначения $$p+\overrightarrow{v}$$
Последний раз редактировалось IHmG 28 ноя 2019, 17:58, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 5455
Зарегистрирован: 28 июл 2009, 21:00

разбор тезисов из методички заочника матфака

Сообщение Ian » 04 янв 2012, 15:29

IHmG писал(а):Source of the post
Заметим, что если $$P=(p^i), \overrightarrow{v}=(v^i)$$, то точка $$Q=p+\overrightarrow{v}$$ имеет координаты $$p^i+v^i$$, что

оправдывает выбор обозначения $$p+\overrightarrow{v}$$

Предположу, что автор хотел этим сказать: Вот, раньше было бессмысленно прибавлять вектор($$v$$) к точке($$P$$, хотя почему-то написано $$p$$), а теперь можно. Ничего особенно глубокого тут нет, интуитивно было ясно.
Почитать предложу все, что принадлежит перу М.М.Постникова, в том числе и аффинную геометрию я у него слушал. У него бывают столь же сложные формальные утверждения, но за него хотя бы можно "поручиться" , что если ММП взялся излагать так, то проще изложить уже нельзя
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 17:58, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Sonic86
Сообщений: 1774
Зарегистрирован: 03 мар 2011, 21:00

разбор тезисов из методички заочника матфака

Сообщение Sonic86 » 04 янв 2012, 15:46

Ian писал(а):Source of the post если ММП взялся излагать так, то проще изложить уже нельзя
А меня он недавно начал немного раздражать Я обнаружил, что книги "Алгебраическая теория чисел" и "Теория Галуа" можно было написать немного проще, много лишних деталей. + Изложение чисто дедуктивное - не сразу видишь цель и потому сосредотачиваешься н всяких деталях. Ну может я мелочусь :huh: Так-то да - пишет хорошо (гораздо лучше, чем ван дер Варден)
Последний раз редактировалось Sonic86 28 ноя 2019, 17:58, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
IHmG
Сообщений: 7
Зарегистрирован: 03 янв 2012, 21:00

разбор тезисов из методички заочника матфака

Сообщение IHmG » 05 янв 2012, 16:02

Спасибо за комментарий.

хотя почему-то написано $$p$$

меня это тоже смутило, но с моей стороны перепечатано аккуратно

Почитать предложу все, что принадлежит перу М.М.Постникова

понял. ищу... спасибо




Sonic86 писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post если ММП взялся излагать так, то проще изложить уже нельзя
А меня он недавно начал немного раздражать Я обнаружил, что книги "Алгебраическая теория чисел" и "Теория Галуа" можно было написать немного проще, много лишних деталей. + Изложение чисто дедуктивное - не сразу видишь цель и потому сосредотачиваешься н всяких деталях. Ну может я мелочусь :huh: Так-то да - пишет хорошо (гораздо лучше, чем ван дер Варден)


какую именно книгу Вы советуете почитать?
Последний раз редактировалось IHmG 28 ноя 2019, 17:58, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Sonic86
Сообщений: 1774
Зарегистрирован: 03 мар 2011, 21:00

разбор тезисов из методички заочника матфака

Сообщение Sonic86 » 05 янв 2012, 17:05

IHmG писал(а):Source of the post какую именно книгу Вы советуете почитать?
Извините, я не Вам. Не обращайте на меня внимания.
Последний раз редактировалось Sonic86 28 ноя 2019, 17:58, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 5455
Зарегистрирован: 28 июл 2009, 21:00

разбор тезисов из методички заочника матфака

Сообщение Ian » 05 янв 2012, 19:18

IHmG писал(а):Source of the post
Почитать предложу все, что принадлежит перу М.М.Постникова

понял. ищу... спасибо
...какую именно книгу Вы советуете почитать?
Да, насчет "все, что принадлежит перу" - я погорячился. Имел в виду"Лекции по геометрии"
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 17:58, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
JeffLebovski
Сообщений: 650
Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00

разбор тезисов из методички заочника матфака

Сообщение JeffLebovski » 06 янв 2012, 06:57

IHmG писал(а):Source of the post
какую именно книгу Вы советуете почитать?

Посмотрите Сосинского А.Б.: [url=http://ium.mccme.ru/f11/geometry.html]http://ium.mccme.ru/f11/geometry.html[/url]
Там и задачи есть.
Последний раз редактировалось JeffLebovski 28 ноя 2019, 17:58, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
IHmG
Сообщений: 7
Зарегистрирован: 03 янв 2012, 21:00

разбор тезисов из методички заочника матфака

Сообщение IHmG » 08 янв 2012, 20:26

Подробности в скрытом тексте

Вопрос 2.1
В определении 1. Что значит термин фактор-множество множества (выделено жирным, наклонным шрифтом)
Вопрос 2.2
В определении 1, в формуле после слов "то есть". Там должен стоять квантор "выполняется". В методичке это символ слеша. Правильно ли набрана формула?
Вопрос 2.3
Как набирать символ множества (утолщение линии)?
Вопрос 2.4
Маленький кружок сверху (используется при указании свойств). Как этот символ набрать в LATEX?
Вопрос 2.5
В попытке интепретировать... выделение параллельных прямых (выделено жирным, наклонным шрифтом). Текст вообще трудный для восприятия в целом!
Вопрос 2.6
В определении 3 не усвоил, что такое множество N. Можно дать определение иначе?

Определение и интерпретации проективного пространства
Введем между ненулевыми векторами $$ \vec{a} $$ и $$ \vec{b} $$ (n+1)-мерного пространства $$ V_{n+1} $$ отношение $$ \Delta $$, считая, что вектор $$ \vec{a} $$ находится в отношении $$ \Delta $$ с вектором $$ \vec{b} $$ в том и только в том случае, если $$ \vec{b}=\lambda\vec{a} $$; иначе, если $$ \vec{a} $$ параллельно $$ \vec{b} $$. Поскольку $$ \Delta $$ является отношением эквивалентности, множество ненулевых векторов из $$ V_{n+1} $$ распадается на смежные классы, где в один класс попадают параллельные между собой векторы.

Определение 1
Проективным n-мерным пространством $$ P_{n} $$, порожденным векторным пространством $$ V_{n+1} $$, называется фактор-множество множества ненулевых векторов из $$ V_{n+1} $$ по отношению эквивалентности $$ \Delta $$, то есть $$ \frac{V_{n+1} \mid \bar{\{o\}}}{\Delta} $$

Элементы проективного пространства $$P_n$$ называются точками, где каждая точка $$ A$$ представляет собой класс параллельных между собой ненулевых векторов. Если вектор $$ \vec{A}$$ входит в класс $$ A$$, то говорят, что он порождает точку $$ A $$ (В старой литературе векторы $$ \vec{A}$$ называли "аналитическими точками", а порожденные ими точки $$ A $$ - "геометрическими точками")

Определим так называемое каноническое отображение $$\pi : V_{n+1}$$ \ $$ \bar{\{o\}} \rightarrow P_n$$, считая образом вектора $$ \vec{A}$$ порожденную им точку $$ A$$, то есть $$\pi(\vec{A})=A$$

Определение 2
Пусть $$V_{k+1}$$ - (k+1)-мерное подпространство векторного пространства $$V_{n+1}$$. k-мерной плоскостью $$\Pi_{k}$$ проективного пространства $$P_n$$ называется образ множества $$V_{k+1}$$ \ $$ \bar{\{o\}}}$$ при каноническом отображении $$\pi : V_{n+1} \rightarrow P_n$$

Из определений 1 и 2 следует, что каждую k-плоскость $$\Pi_{k}$$ можно считать проективным k-мерным пространством $$P_k$$, входящим в $$P_n$$

1. Построим интерпретацию, или модель, проективного пространства $$P_n$$, считая известными аффинные многомерные пространства.

Пусть $$A_{n+1}$$ - аффинное (n+1)-мерное пространство с пространством переносов $$V_{n+1}$$, в котором зафиксирована точка $$O$$. В этом случае множество всех радиус-векторов точек $$A_{n+1}$$ совпадает с $$V_{n+1}$$ и каждую прямую, проходящую через точку $$O$$, можно отождествить с множеством векторов вида $$\vec{OM}$$, где точки $$M \not = O$$ лежат на прямой; иными словами, прямую можно отождествить с классом ненулевых параллельных между собой векторов. Но это и значит, что каждую прямую связки можно интерпретировать точкой из $$P_n$$.

Множество всех прямых связки с центром в точке $$O$$, лежащих в (k+1)-плоскости, будем истолковывать как множество точек k-плоскости проективного пространства. Другими словами, интерпретацией k-плоскости в $$P_n$$ мы считаем (k+1)-плоскость в $$A_{n+1}$$, проходящую через точку $$O$$

2. Наше интуитивное восприятие пространства не ассоциирует его со связкой прямых: например, трудно считать связку прямых трехмерного пространства плоскостью. Сделаем попытку интерпретировать проективное пространство "обычным аффинным пространством

Вернемся к пункту 1, и в $$A_{n+1}$$ с фиксированной точкой $$O$$ зададим не проходящую через эту точку гиперплоскость, которую можно считать аффинным n-мерным пространством в $$A_n$$

Выделим в проективном пространстве $$P_n$$, понимаемым как связка прямых в $$A_{n+1}$$, множество всех прямых, параллельных $$A_n$$. Так как все они лежат в гиперплоскости, проходящей через точку $$O$$, то такие прямые мы интерпретируем точками (n-1)-плоскости $$\Pi_{n-1}$$ в $$P_n$$

Обозначим $$N$$ любое множество, на которое можно биективно отобразить гиперплоскость $$\Pi_{n-1} \subset P_n$$ с помощью некоторого отображения $$\varphi: \Pi_{n-1} \rightarrow N$$. В качестве $$N$$ можно взять саму (n-1)-плоскость $$\Pi_{n-1}$$ (природа множества элементов N нас не интересует!), в к качестве отображения $$\varphi$$ взять тождественное отображение

Определение 3
Множество $$A_n^*=A_n \cup N$$ называется расширенным аффинным пространством. Его элементы из $$A_n$$ называются обыкновенными точками, а элементы из $$N$$ - несобственными (бесконечно удаленными) точками.

Построим биективное отображение f: $$P_n \rightarrow A_n^*$$, где $$P_n$$ является множеством прямых связки, следующим образом: если прямая принадлежит множеству $$P_n$$ \ $$\Pi_{n-1}$$, то ее образом при отображении f считаем точку $$A$$ пересечения этой прямой с $$A_n$$ (см рис 2); если же прямая $$B$$ принадлежит $$\Pi_{n-1}$$, то ее образом $$f(B)$$ считаем $$\varphi(B) \in N$$

Примеры интерпретаций проективной прямой (рис. 1 и 2)
Последний раз редактировалось IHmG 28 ноя 2019, 17:58, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
mihailm
Сообщений: 3078
Зарегистрирован: 11 май 2010, 21:00

разбор тезисов из методички заочника матфака

Сообщение mihailm » 08 янв 2012, 21:00

IHmG писал(а):Source of the post
Вопрос 2.1
В определении 1. Что значит термин фактор-множество множества (выделено жирным, наклонным шрифтом)
...


К этому надо просто привыкнуть
Фактор-множество множества просто так не бывает, только по некоторому отношению эквивалентности
Грубо говоря некоторые точки исходного множества слепляем между собой и полученное объявляем новым множеством
Надо разобрать десяток примеров тогда и понятно станет
Первый пример фактор множества был в геометрии когда вводились вектора
Последний раз редактировалось mihailm 28 ноя 2019, 17:58, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Ответить на сообщение

Вернуться в «Алгебра и теория чисел»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость