Тут Вы не определитель считали , а преобразования делали. Так или иначе, выяснили, что определитель матрицы из 2,3,4 столбцов отличен от нуля.
![$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & -1 \\\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & -1 \\\end{pmatrix}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%201%20%26%201%20%26%201%20%26%200%20%5C%5C1%20%26%201%20%26%200%20%26%201%20%5C%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%200%20%26%201%20%26%200%20%26%20-1%20%5C%5C0%20%26%200%20%26%200%20%26%20-1%20%5C%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%24)
Он равен 3, значит 3 вектора образуют базис. Так?
Так
А вектор (1,1,1,1) вы откуда взяли? произвольно?
Тут у меня никакой бумажки, решал в уме. Стандартные базисные векторы
![$$e_2(0,1,0,0),e_3(0,0,1,0),e_4(0,0,0,1)$$ $$e_2(0,1,0,0),e_3(0,0,1,0),e_4(0,0,0,1)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24e_2%280%2C1%2C0%2C0%29%2Ce_3%280%2C0%2C1%2C0%29%2Ce_4%280%2C0%2C0%2C1%29%24%24)
и "мой"
![$$w=(1,1,1,1)$$ $$w=(1,1,1,1)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24w%3D%281%2C1%2C1%2C1%29%24%24)
имеют то свойство, что
![$$\\u_1=w-e_2\\u_2=w-e_4\\u_3=w-e_3\\v_1=w-e_2-e_3\\v_2=w+e_2+e_3-e_1\\v_3=w-e_3+e_4$$ $$\\u_1=w-e_2\\u_2=w-e_4\\u_3=w-e_3\\v_1=w-e_2-e_3\\v_2=w+e_2+e_3-e_1\\v_3=w-e_3+e_4$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%5Cu_1%3Dw-e_2%5C%5Cu_2%3Dw-e_4%5C%5Cu_3%3Dw-e_3%5C%5Cv_1%3Dw-e_2-e_3%5C%5Cv_2%3Dw%2Be_2%2Be_3-e_1%5C%5Cv_3%3Dw-e_3%2Be_4%24%24)
, теперь
![$$e_i$$ $$e_i$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24e_i%24%24)
выразим через
![$$u_1,u_2,u_3,w$$ $$u_1,u_2,u_3,w$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24u_1%2Cu_2%2Cu_3%2Cw%24%24)
и получим выражение всех
![$$v_i$$ $$v_i$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24v_i%24%24)
через
![$$u_1,u_2,u_3,w$$ $$u_1,u_2,u_3,w$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24u_1%2Cu_2%2Cu_3%2Cw%24%24)
, поэтому получился удобный базис.
Формально можно было еще проще ответить: раз есть
![$$v_i$$ $$v_i$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24v_i%24%24)
(докажите, этого еше не сделано), не принадлежащий
![$$V_1$$ $$V_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24V_1%24%24)
, то размерность равна 4 и любые 4 лин.независимых вектора годятся в качестве базиса. Взять
![$$e_1,e_2,e_3,e_4$$ $$e_1,e_2,e_3,e_4$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24e_1%2Ce_2%2Ce_3%2Ce_4%24%24)
и даже выражать ничего не надо, все уже выражено. Но подумают - вот лентяи:) Во многих задачах базис в сумме пространств выбирают так, чтобы первые векторы образовывали базис первого пространства, лучше уж и нам соблюсти.
И еше про пересечение осталось