Линейная алгебра

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 27 авг 2011, 16:29

Пусть

(линейная оболочка строк $$u_1,u_2,u_3$$

) ,

(линейная оболочка строк $$v_1,v_2,v_3$$

) ,

Найти базисы линейных пространств
$$V_2+V_1$$

и

$V_2\bigcap V_1$
при этом строки
$$u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3$$

выразить через базис пространства $$V_2+V_1$$

Решение:
Решение не должно быть не сложным я думаю, но я просто ни разу подобных задач не свтречала. Думаю надо составить системы уравнений, определяющие оболочки...

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & a_1 \\ 0 & 1 & 1& a_2 \\1 & 1 & 0 & a_3\\ 1 & 0 & 1 & a_4 \end{pmatrix}=$

Тут матрицу к диагональному виду вроде привести, но как получаются уравнения с а, не понимаю, помогите пожалуйста.

Ian · Сообщение **Ian** » 27 авг 2011, 17:04

Кроме нахождения базиса пересечения пространств, все остальное можно решить естественными вопросами:
1. Составляют ли 3 вектора $$u_i$$

базис в своей линейной оболочке? Или один из этих векторов можно выкинуть, как линейно зависимый с остальными?
2. Увидели что $$dim V_1=3$$

, тогда только 2 варианта: размерность суммы =3, а все вектора $$v_i$$

выражаются через $$u_i$$

; либо размерность суммы =4, и любой вектор, линейно независимый с $$u_i$$

, дополняет $$u_i$$

до базиса. Я бы взял вектор (1,1,1,1), выражения проще получатся
Какие определители надо посчитать, чтобы 1 и 2 проверить?

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 27 авг 2011, 17:33

Ian писал(а):Source of the post
Кроме нахождения базиса пересечения пространств, все остальное можно решить естественными вопросами:
1. Составляют ли 3 вектора базис в своей линейной оболочке? Или один из этих векторов можно выкинуть, как линейно зависимый с остальными?
2. Увидели что , тогда только 2 варианта: размерность суммы =3, а все вектора выражаются через ; либо размерность суммы =4, и любой вектор, линейно независимый с , дополняет до базиса. Я бы взял вектор (1,1,1,1), выражения проще получатся
Какие определители надо посчитать, чтобы 1 и 2 проверить?

Векторы образуют базис если определитель составленный из них отличен от нуля, но тут матрица не квадратная.
найдем ранг:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & -1 \\\end{pmatrix}$
Он равен 3, значит 3 вектора образуют базис. Так?
А вектор (1,1,1,1) вы откуда взяли? произвольно?

Ian · Сообщение **Ian** » 27 авг 2011, 18:00

nikita1 писал(а):Source of the post Найдем ранг,считая определитель:

Тут Вы не определитель считали , а преобразования делали. Так или иначе, выяснили, что определитель матрицы из 2,3,4 столбцов отличен от нуля.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & -1 \\\end{pmatrix}$
Он равен 3, значит 3 вектора образуют базис. Так?

Так

А вектор (1,1,1,1) вы откуда взяли? произвольно?

Тут у меня никакой бумажки, решал в уме. Стандартные базисные векторы $$e_2(0,1,0,0),e_3(0,0,1,0),e_4(0,0,0,1)$$

и "мой"

имеют то свойство, что
$\\u_1=w-e_2\\u_2=w-e_4\\u_3=w-e_3\\v_1=w-e_2-e_3\\v_2=w+e_2+e_3-e_1\\v_3=w-e_3+e_4$ , теперь $$e_i$$

выразим через $$u_1,u_2,u_3,w$$

и получим выражение всех $$v_i$$

через

, поэтому получился удобный базис.

Формально можно было еще проще ответить: раз есть $$v_i$$

(докажите, этого еше не сделано), не принадлежащий $$V_1$$

, то размерность равна 4 и любые 4 лин.независимых вектора годятся в качестве базиса. Взять $$e_1,e_2,e_3,e_4$$

и даже выражать ничего не надо, все уже выражено. Но подумают - вот лентяи:) Во многих задачах базис в сумме пространств выбирают так, чтобы первые векторы образовывали базис первого пространства, лучше уж и нам соблюсти.

И еше про пересечение осталось

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 27 авг 2011, 18:10

Берем последовательность векторов $$u_1$$

,

и выбрасываем из нее векторы, линейно зависящие от предыдущих. Что останется - базис $$V_1 + V_2$$

. Преобразованиями строк (или столбцов) матрицы это очень просто делается. А для пересечения придется систему линейных уравнений решить.

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 28 авг 2011, 13:27

Всем спасибо большое!!!

yourdomain.com