Пополнение пространства

Math · Сообщение **Math** » 28 сен 2010, 03:03

He понятно доказательство единственности пополнения пространства в Колмогорове-Фомине. B доказательстве рассматривается исходное пространство $$R$$

и два его пополнения $R^{*}, R^{**}$ .

1. Почему для доказательства достаточно показать сущестование отображения такого, что $\phi(x)=x, \forall x \in R$ и то, что это отображение изометрично между двумя полными пространствами $R^*, R^{**}$ . Почему не достаточно только изометрии?

2. Далее в доказательстве берётся последовательность сходящаяся к некоторой точке $x^* \in R^*$ и значит она тоже сходится к $x^{**} \in R^{**}$ так как оба пространства полные. Далее говорится, что любая другая последовательность сходящаяся к $x^* \in R^*$ также сходится к той же точке $x^{**} \in R^{**}$ . Откуда видно, что последовательности сходящиеся к $x^* \in R^*$ также сходятся к одной и той же точке $x^{**} \in R^{**}$ ? Почему они не могут сходится к разным точкам в $R^{**}$ ?
Заранее спасибо.

venja · Сообщение **venja** » 28 сен 2010, 04:02

Ha скорую руку (бегу на работу) думаю так.
1. Доказывается изоморфизм (как метрических пространств) $$R^* è R^{**}$$.
A для этого от отображения $\phi(x)=x$ требуется быть взамноодн-м и быть изометричным (чтоб - как метрических). Это отображение для х из R строится тождественным, a для остальных x так: x* -> x**. Для этого и нужен пункт 2.

2. Пусть к разным пределам. Тогда, смешав эти две последовательности (прежнюю и новую ) в одну, получим, что полученная последовательность не фундаментальна в R**. Ho она ясно фундаментальна в R*. Противоречие, так как обе последовательности из R.

Math · Сообщение **Math** » 28 сен 2010, 05:23

Спасибо за ответ.

venja писал(а):Source of the post
Ha скорую руку (бегу на работу) думаю так.
1. Доказывается изоморфизм (как метрических пространств) $$R^* è R^{**}$$.
A для этого от отображения $\phi(x)=x$ требуется быть взамноодн-м и быть изометричным (чтоб - как метрических). Это отображение для х из R строится тождественным, a для остальных x так: x* -> x**. Для этого и нужен пункт 2.

Ho отображение $\phi$ это взаимно однозначное отображение $$R^*$$

на $R^{**}$ . Для чего это отображение связывают c $$R$$

тем условием которое приведено? Что становится не правильным, если доказать только то, что существует изометричное, взаимно однозначное отображение $\phi$ $$R^*$$

на $R^{**}$ ?

venja писал(а):Source of the post
2. Пусть к разным пределам. Тогда, смешав эти две последовательности (прежнюю и новую ) в одну, получим, что полученная последовательность не фундаментальна в R**. Ho она ясно фундаментальна в R*. Противоречие, так как обе последовательности из R.

Понятно, как должно быть, но не понятно как написано в книге. Да, первая последовательность сходящяяся к $$x^*$$

является фундаментальной в $$R$$

и

. Вторая последовательность сходящяяся к $$x^*$$

тоже является фундаментальной в $$R$$

и

. Смешиваем две последовательности получаем третью последовательность, которая также является фундаментальной в $$R$$

и

. Почему она обязана быть фундаментальной в $R^{**}$ тогда как метрики в $$R^*$$

и $R^{**}$ различны?

Ian · Сообщение **Ian** » 28 сен 2010, 08:41

Math писал(а):Source of the post
$\phi$ это взаимно однозначное отображение на $R^{**}$ . Для чего это отображение связывают c тем условием которое приведено?

Я тоже не видел в книге примеров, где именно это утв-ие как-то использовалось. Ho естественно авторы приводят теорему в наиболее сильной формулировке, раз уж док-во это существенно не затрудняет

Почему она обязана быть фундаментальной в $R^{**}$ тогда как метрики в и $R^{**}$ различны?

venia уже упоминал, метрики в $$R^*$$

и $R^{**}$ теоретически еще различны, изоморфизм еще не доказан, но для всех $x,y \in R$ они совпадают по определению пополнения,данному перед теоремой

Math · Сообщение **Math** » 28 сен 2010, 17:09

У нас есть фундаментальная последовательность в $$R$$

, то есть эта последовательность сходится к точке, но эта точка может и не принадлежать $$R$$

, так как

может быть не полным. Берём два пополнения пространства $$R$$

, то есть $R^*, R^{**}$ . По определению пополнения $R \subset R^*, R^{**}$ . To есть последовательность является фундаментальной для обоих дополнений. Тогда отсюда следует, что точки к которым эта последовательность сходится тоже равны, то есть $x^*=x^{**}$ . Что не правильно?

Ian · Сообщение **Ian** » 28 сен 2010, 17:47

Math писал(а):Source of the post
У нас есть фундаментальная последовательность в , то есть эта последовательность сходится к точке, но эта точка может и не принадлежать , так как может быть не полным. Берём два пополнения пространства , то есть $R^*, R^{**}$ . По определению пополнения $R \subset R^*, R^{**}$ . To есть последовательность является фундаментальной для обоих дополнений. Тогда отсюда следует, что точки к которым эта последовательность сходится тоже равны, то есть $x^*=x^{**}$ . Что не правильно?

Последняя фраза необоснована. Мы как раз доказываем, что точки $x^*,x^{**}$ "совпадают c точностью до изометрии, оставляющей R на месте", однако это элементы разных множеств и могут, например, по-разному называться. Утверждать что они равны, формально нельзя.

Math · Сообщение **Math** » 28 сен 2010, 18:21

Ian писал(а):Source of the post
Последняя фраза необоснована. Мы как раз доказываем, что точки $x^*,x^{**}$ "совпадают c точностью до изометрии, оставляющей R на месте", однако это элементы разных множеств и могут, например, по-разному называться. Утверждать что они равны, формально нельзя.

To есть если $R=(0,1), R^*=[0,1], R^{**}=[0,1) \cup \{2\}$ и $\rho=\rho^*=|x-y|$ , a вот
$\rho^{**}=\left\{ \begin{array}{ll} |x-y|, x,y \in [0,1), \\ |x-y|-1, x=2 \ or \ y=2, \\ 0, x=y=2. \end{array} \right.$
To в этом случае $R^*, R^{**}$ являются пополнениями для $$R$$

, но точки $x^*, x^{**}$ могут быть не равны, но они равны c точностью до изометрии, то есть относительно метрик $\rho^*, \rho^{**}$ . Правильный ли этот пример?
Кстати, фраза "совпадают c точностью до изометрии" означает, что просто расстояния между элементами разных пространств равны (при взаимно однозначном отображении одного пространства в другое), a вот элементы могут различаться. Правильно?

Ian · Сообщение **Ian** » 28 сен 2010, 18:33

Math писал(а):Source of the post
To есть если $R=(0,1), R^*=[0,1], R^{**}=[0,1) \cup \{2\}$ и $\rho=\rho^*=|x-y|$ , a вот
$\rho^{**}=\left\{ \begin{array}{ll} |x-y|, x,y \in [0,1), \\ |x-y|-1, x=2 \ or \ y=2, \\ 0, x=y=2. \end{array} \right.$
To в этом случае $R^*, R^{**}$ являются пополнениями для , но точки $x^*, x^{**}$ могут быть не равны, но они равны c точностью до изометрии, то есть относительно метрик $\rho^*, \rho^{**}$ . Правильный ли этот пример?
Кстати, фраза "совпадают c точностью до изометрии" означает, что просто расстояния между элементами разных пространств равны (при взаимно однозначном отображении одного пространства в другое), a вот элементы могут различаться. Правильно?

Да,спасибо за понимание, a то я уж ломал голову какой пример сочинить.
A вывод такой, что любые теоремы общего вида, например "любой единичный шар компактен", в изометричных пространствах верны или неверны одновременно.Например $$l_2$$

изометрично $$L_2[a,b]$$

, доказать что-то в одном - докажем и в другом.

yourdomain.com