Можно ли как-нибудь через коэффициенты уравнения четвёртой степени выразить условие существования у него четырёх вещественных корней?
B голову пришло только следующее. Возьмём, например, метод Феррари. Исходное уравнение сводится к двум квадратным. Четыре корня будут в том случае, если дискриминант каждого из этих квадратных уравнений будет положительным (в принципе, ему достаточно быть и неотрицательным, если устраивают кратные корни). Ho коэффициенты этих квадратных уравнений содержат в себе корень резольвентного кубического уравнения, формулы для вычисления которого, в свою очередь, зависят от знака дискриминанта
резольвенты.
"Опытным путём",
похоже, получается, что если резольвента имеет 3 действительных корня (
), то соответствующее уравнение 4-й степени имеет четыре вещественных корня либо не имеет их вовсе. Если же резольвента имеет только один вещественный корень (
), то соответствующее уравнение 4-й степени имеет два корня. Ho как это доказать?
Если всё это верно, то можно поступить так. Рассмотреть, например, случай, когда
, взять выражение для корня (единственного действительного, который в виде суммы двух кубических корней) резольвенты и подставить его в выражения для дискриминантов
и
двух упомянутых выше квадратных уравнений. При этом как-то должно получиться, что одновременно не может быть
и
. Это доказало бы, что при
исходное уравнение может иметь только 2 корня. Ho в результате подстановки такие громоздкие выражения получаются, что совершенно непонятно, куда копать.
