Задача на комбинаторику

Racer · Сообщение **Racer** » 22 сен 2010, 06:07

Помогите пожалуйста решить задачу, я даже не знаю как к ней подойти:

Какое наибольшее кол-во натуральных чисел от 1 до 100 можно выбрать так, чтобы сумма любых двух из этих чисел делилась нацело на 6?

Заранее спасибо!

Vector · Сообщение **Vector** » 22 сен 2010, 06:18

Racer писал(а):Source of the post
Помогите пожалуйста решить задачу, я даже не знаю как к ней подойти:

Какое наибольшее кол-во натуральных чисел от 1 до 100 можно выбрать так, чтобы сумма любых двух из этих чисел делилась нацело на 6?

Заранее спасибо!

Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Racer · Сообщение **Racer** » 22 сен 2010, 07:33

Vector писал(а):Source of the post
Racer писал(а):Source of the post
Помогите пожалуйста решить задачу, я даже не знаю как к ней подойти:

Какое наибольшее кол-во натуральных чисел от 1 до 100 можно выбрать так, чтобы сумма любых двух из этих чисел делилась нацело на 6?

Заранее спасибо!

Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

TO есть нужно чтобы сумма 2-х чисел была четной и притом делиналась на 3, так таких-же вариантов очень много.

вздымщик Цыпа

Racer писал(а):Source of the post Какое наибольшее кол-во натуральных чисел от 1 до 100 можно выбрать так, чтобы сумма любых двух из этих чисел делилась нацело на 6?

Предположим у Bac одно из чисел в остатке от деления на $$6$$

дает

, тогда каждое из остальных чисел должно давать в остатке $$6 - k$$

. Сумма двух таких чисел должна делиться на $$6$$

. Отсюда

делится на $$6$$

и

.

Итого есть два варианта:

a) все числа делятся на $$6$$

;
б) все числа при делении на $$6$$

дают остаток $$3$$

.

Каких получается больше, посчитайте сами.

Правда непонятно, причем тут комбинаторика.

Vector · Сообщение **Vector** » 22 сен 2010, 08:18

от 1 до 100

Я так понимаю всего 99 чисел и из них нужно выбирать? Или задача в чем-то другом?

Racer · Сообщение **Racer** » 22 сен 2010, 14:45

вздымщик Цыпа писал(а):Source of the post
Racer писал(а):Source of the post Какое наибольшее кол-во натуральных чисел от 1 до 100 можно выбрать так, чтобы сумма любых двух из этих чисел делилась нацело на 6?
Предположим у Bac одно из чисел в остатке от деления на дает , тогда каждое из остальных чисел должно давать в остатке . Сумма двух таких чисел должна делиться на . Отсюда делится на и .

Итого есть два варианта:

a) все числа делятся на ;
б) все числа при делении на дают остаток .

Каких получается больше, посчитайте сами.

Правда непонятно, причем тут комбинаторика.

Тогда получается что чисел которые делятся на 6 будет 17, a вот c числами которые при делении на 6 дают остаток получается что нужно найти кол-во чисел которые делятся на 9, если так то получатся что 1 вариант это 16, a второй вариан (c остатком) получается 11 чисел. я прав?

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 22 сен 2010, 14:50

Racer писал(а):Source of the post
Тогда получается что чисел которые делятся на 6 будет 17

16

Racer писал(а):Source of the post
a вот c числами которые при делении на 6 дают остаток получается что нужно найти кол-во чисел которые делятся на 9

Делимость на 9 тут ни при чем. B этом случае нас интересуют числа 3, 9, 15, ... ,99.

Racer · Сообщение **Racer** » 22 сен 2010, 15:01

Так это их чтоли вручную считать?

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 22 сен 2010, 15:06

Racer писал(а):Source of the post
Так это их чтоли вручную считать?

Зачем? Это числа вида $$6k+3$$

от

до

, поэтому понятно, сколько их.

Racer · Сообщение **Racer** » 22 сен 2010, 15:12

Bce понялс, ответ 17, огромное спасибо за помощь!

yourdomain.com