Страница 1 из 1

Сумма степеней натуральных чисел.

Добавлено: 13 дек 2013, 07:42
geh
Дано:
$$1^0+2^0+ ... +n^0=n$$
$$1^1+2^1+ ... +n^1=\frac{n(n+1)}{2}$$
$$1^2+2^2+ ... +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
$$1^3+2^3+ ... +n^3={(\frac{n(n+1)}{2})}^2$$
интересно, что
$$1^3+2^3+ ... +n^3={(1+2+ ... +n)}^2$$
можно продолжить и далее
$$1^m+2^m+ ... +n^m=nf(n)$$
где f(n) - многочлен степени m
Вопрос: можно ли этот многочлен записать
в общем виде?

Сумма степеней натуральных чисел.

Добавлено: 13 дек 2013, 14:37
Albe
Почитайте Здесь.

Сумма степеней натуральных чисел.

Добавлено: 13 дек 2013, 20:31
Ian
geh писал(а):Source of the post
$$1^m+2^m+ ... +n^m=nf(n)$$
где f(n) - многочлен степени m
Вопрос: можно ли этот многочлен записать
в общем виде?
Встречный вопрос: верно ли, что у этого многочлена m действительных корней и все они на отрезке [-1;0]?
И если сможете, найдите эти корни)

Треугольную матрицу коэффициентов таких многочленов можно записать как функцию матриц, у которых элементы задаются явными формулами, найдите как

Докажите тождество $$zf(z)-(z-1)f(z-1)=z^m$$ и придумайте, как его еще использовать

Ну а потом можно и поговорить)

Сумма степеней натуральных чисел.

Добавлено: 14 дек 2013, 07:26
Ian
Ian писал(а):Source of the post
Докажите тождество $$zf(z)-(z-1)f(z-1)=z^m$$ и придумайте, как его еще использовать
Лучше бы сразу обозначить $$zf(z)=S_m(z)$$- многочлен степени m+1
Выведите отсюда тождество
$$S_m'(z)-mS_{m-1}(z)=B_m$$-числам Бернулли
Тогда $$S_m(z)=\int_0^z(mS_{m-1}(z)+B_m)dz$$ -как видите, зная числа Бернулли, легко последовательно считать полиномы целиком.
Но про корни поинтереснее, я видел что-то об этом, со Стилтьесом связанное, но не нахожу.