ГИА, С6, "геометрия".

Deceiver · Сообщение **Deceiver** » 28 май 2013, 15:06

Добрый день.
Реальное задание с ГИА, решить - не решила, но знать, как решается, хочется.

"Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая ВС в точке Р. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АМК"

S(ABM)=S(MBC).
Провёла МТ, параллельный КР, по теореме Фалеса КР - средняя линия треугольника МВТ, и S(KBP)/S(MBT)=1/4. MT - средняя линия АСР. ВР=РТ=ТС.
И - тупик. Как от этого оттолкнуться, не знаю. Подтолкните, пожалуйста. Или изначально ход мысли неверен?

balans · Сообщение **balans** » 28 май 2013, 17:34

простите, что влез в Вашу тему с готовым решением.

Получил соотношения
$$PC = 2*BP $$

.
Далее получил систему уравнений
$$S_1+S_2 =1/2 $$

$\frac{ S_1}{S_3} =1/3$
Площадь треугольника принята за единицу.
У меня получилось 1/6. Но Вы всё же проверьте, -решение дилетантское.

Deceiver · Сообщение **Deceiver** » 28 май 2013, 18:18

А почему S2 + S3 равен трети? Из чего это следует?
Вы меня озадачили: у меня 5/3 получилось.
Если взять за S площадь КВР, площадь МКРТ равна 3S. Площадь СМТ равна 2S, так как высота треугольников СМТ и ТМВ общая, а ТС=1/2ТВ. Площадь АВК - 3S из общей высоты треугольников АВК и КВР и втрое большего основания АВК. Получается 5/3. Ошибки найти не могу ><

balans · Сообщение **balans** » 28 май 2013, 19:14

Deceiver писал(а):Source of the post
А почему S2 + S3 равен трети? Из чего это следует?

Треугольники ABP И ABC имеют общую высоту, поэтому соотношения их площадей равно соотношению их основании. Из 2*BP=PC следует BC =3*BP.

Deceiver писал(а):Source of the post
Ошибки найти не могу ><

Я сам ошибся, в действительности $\frac{ S_1}{S_3} =3$ . Тогда ответ должен быть 5/12.

Ian · Сообщение **Ian** » 29 май 2013, 11:44

balans писал(а):Source of the post
Тогда ответ должен быть 5/12.

Это можно получить проще и единообразнее.Соединим Р и М, тогда
$S_{APM}=S_{PMC}$ (РM-медиана)
$$S_{APM}=S_{AKM}+S_{KPM}=S_{AKB}+S_{KPB}=S_{APÂ}$$(2) (AK и PK-медианы) Отсюда 2 вывода
$S_{APM}=S_{PMC}=\frac 13$
$S_{AKM}=\frac 12S_{AKM}=\frac 14$
$S_{PKM}=S_{APM}-S_{AKM}=\frac 13-\frac 14=\frac 1{12}$
$S_{PKMC}=S_{PKM}+S_{PMC}=\frac 5{12}$

Deceiver · Сообщение **Deceiver** » 30 май 2013, 10:03

Похоже, ответ таки 5/3.

laplas · Сообщение **laplas** » 30 май 2013, 13:10

Deceiver · Сообщение **Deceiver** » 30 май 2013, 14:49

>тогда ответ должен быть 5/12
видимо, я не так поняла эту строчку. Прошу прощения.

Ian · Сообщение **Ian** » 31 май 2013, 05:03

5/12 у нас был не конечный ответ задачи, а самая интересная из площадей. А ответ задачи 5/3

yourdomain.com