Элементарные функции

Math · Сообщение **Math** » 30 окт 2011, 17:09

Множество элементарных функций является замкнутым относительно дифференцирования, но не является таковым относительно интегрирования. Скаладывается впечатление, что именно замкнутость относительно дифференцирования была причиной появления термина элементарная функция. Но вот например, $F(x)=\int_a^x e^{t^2}dt$ не является элементарной, хотя её производная есть элементарная функция. Почему всё таки элементарные функции выделяются в отдельный класс.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 30 окт 2011, 17:23

А что такое элементарная функция, модуль например элементарная функция?

Ian · Сообщение **Ian** » 30 окт 2011, 17:34

$|x|=\sqrt{x^2}$ - ну конечно!
Замкнуто, но относительно операций сложения, умножения, возведения в степень, взятия тригфункций, и их обратных. А исходные константа и у=х

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 30 окт 2011, 19:02

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям.

Math · Сообщение **Math** » 30 окт 2011, 19:24

Ну а чем скажите отличается $\cos(x)$ от $\int_a^x e^{t^2}dt$ ? И то и другое функции от $$x$$

, так? В чём принципиальное отличие этих функий, что позволяет сказать, что первая это элементарная функция, а вторая нет? Почему мы относим первую функцию к классу элементарных? Что это за такой класс?

Ian · Сообщение **Ian** » 30 окт 2011, 20:00

Math писал(а):Source of the post
Ну а чем скажите отличается $\cos(x)$ от $\int_a^x e^{t^2}dt$ ? И то и другое функции от , так? В чём принципиальное отличие этих функий, что позволяет сказать, что первая это элементарная функция, а вторая нет? Почему мы относим первую функцию к классу элементарных? Что это за такой класс?

видимо, понятие ЭФ возникло до диф.и инт. исчисления, а геометрия уже была

Рубен · Сообщение **Рубен** » 30 окт 2011, 20:07

Math писал(а):Source of the post В чём принципиальное отличие этих функий, что позволяет сказать, что первая это элементарная функция, а вторая нет?

Да просто первая сама по себе является элементарной по определению, а вторая не выражается через нее или другие элементарные при помощи правил арифметики.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 30 окт 2011, 20:11

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из основных элементарных функций. $\int_a^x e^{t^2}dt$ так не представить!

Рубен · Сообщение **Рубен** » 30 окт 2011, 20:13

vicvolf писал(а):Source of the post композиций из основных элементарных функций.

Суть вопроса ТС можно сформулировать так: почему эти функции (которые упомянуты в процитированном Вами определении) причислили к классу элементарных, а какой нибудь интеграл -- нет. Просто так захотели и все. Мое ИМХО

Math · Сообщение **Math** » 31 окт 2011, 16:31

Всем спасибо за ответы. Однако действительно, как указал Рубен, вопрос был о том, почему не обозвать интеграл элементарной функцией. Из ответа Виктора В можно этот класс элементарных функций описать как класс функций которые выражаются с помощью конечных операций сложения, умножения, суперпозиции этих же элементырных функций. То есть элементами (простейшими) являются представители функций включённых в этот класс, например, тригонометрическая функция $\cos(x)$ является простейшей функцией класса, а вот уже $\cos^2(x)$ является элементарной функцией построенной из этой простейшей. Отсюда вопрос, ну а почему не обозвать интеграл такой же простейшей функцией и включить его в класс элементарных. Да, как уже отметили, он не выражается с помошью конечных арифметических операций элементарных функций. Но тогда и исключив тригонометрические функции из элементарных, возникает та же проблема, что и с интегралом. Именно, они не описываются конечными арифметическими операциями над теми функциями которые в классе элементарных и не тригонометрические.

yourdomain.com