Беспроигрышная лотерея

Таланов

Задача такая:
Вообразите, что вам повезло, и щедрый незнакомец предлагает вам беспроигрышную лотерею! Есть 2-е урны, в них находятся чеки на некоторые суммы денег. Известно, что сумма чека в одной урне вдвое больше чем во второй. Выбрав одну урну, вы обнаруживаете в нём чек на 1000 долларов США. Тут незнакомец предлагает вам либо оставить этот чек, либо поменять на тот, что в нетронутой урне. Как Вам лучше поступить?
а). Оставить
б). Поменять
в). Всё равно

Правильного ответа не знаю, мне кажется - в).

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 17 авг 2011, 06:02

Стратегия незнакомца-он знает, что в другой урне чек на меньшую сумму, поэтому предлагает поменять. Стратегия выбирающего-так как предлагают поменять, то это не выгодно, поэтому лучше оставить!

Arzamasskiy · Сообщение **Arzamasskiy** » 17 авг 2011, 07:00

Если поменяете, а в другой урне $2000, то вы получаете +$1000; если в другой урне $500, то вы теряете -$500. Если незнакомец не жульничает, предлагая 500, и не предлагая 2000, то в среднем за обмен вы получите +$250, то есть лучше поменять.

Evilution · Сообщение **Evilution** » 17 авг 2011, 08:01

Arzamasskiy писал(а):Source of the post
Если поменяете, а в другой урне $2000, то вы получаете +$1000; если в другой урне $500, то вы теряете -$500. Если незнакомец не жульничает, предлагая 500, и не предлагая 2000, то в среднем за обмен вы получите +$250, то есть лучше поменять.

Все зависит от вашей функции полезности. Если незнакомец не жульничает, то вы поменяете чек при $$u(1000)>u(-500)$$

, и не поменяете при $$u(1000)<u(-500)$$

.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 17 авг 2011, 09:12

vicvolf писал(а):Source of the post
Стратегия незнакомца-он знает, что в другой урне чек на меньшую сумму, поэтому предлагает поменять. Стратегия выбирающего-так как предлагают поменять, то это не выгодно, поэтому лучше оставить!

Согласен с ответом. Если б в другой урне был чек на большую сумму, незнакомец бы не предлагал поменять, ибо смысл ему это делать?

Хотя...подумал ещё чуть. Если уж незнакомец устроил такую лотерею ( уже невыгодную ему), то он вполне может предложить и поменять на большую сумму. Тогда уже решение Lev Arzamasskiy скорее верно)

Ian · Сообщение **Ian** » 17 авг 2011, 14:50

Вопрос о правильной стратегии можно ставить, когда игра повторяется много раз при фиксированных на долгое время стратегиях надписывающего чеки и Вашей. Тогда отпадает вопрос, знают ли игроки стратегии друг друга: первый миллион испытаний можно потратить на то, чтобы вычислить стратегию противника, а дальше садиться вычислять свой оптимум. Конечно и противник будет делать то же самое. В итоге имеет смысл только вопрос: стратегии обоих неизменны и известны противнику, найти равновесие по Нэшу, т.е. и первому, и второму невыгодно менять свою стратегию, даже зная, что другой не сменит свою.
Покажем, что в данной задаче такого равновесия нет. Пусть вы знаете, что на чеках бывают всякие суммы с целым числом центов, тогда увидев нечетное число центов, будете менять и выиграете. Увидев такую Вашу стратегию, противник не будет никогда ни на одном чеке писать нечетное число центов, тогда Вы еще улучшите свою стратегию: при числе не делящемся на 4 меняете и выигрываете, и тд.
То что по этому поводу в Вики - неправильное использование плотности непрерывного распределения, сравнивать надо $\frac 12 p(\frac x2)\frac {dx}2$ и $$p(2x)2dx$$

, причем ответ из англоязычных результатов я помню, а источник забыл. Если интересно, попробую воспроизвести уточненную постановку непрерывной игровой задачи и равновесные по Нэшу стратегии обоих игроков.

Таланов

Под стратегией я понимал ответ на вопрос:

Таланов писал(а):Source of the post
Как Вам лучше поступить?
а). Оставить
б). Поменять
в). Всё равно

Для большого количества испытаний в каком случае выигрыш больше?

Ian · Сообщение **Ian** » 17 авг 2011, 15:13

Таланов писал(а):Source of the post
Под стратегией я понимал ответ на вопрос:

Таланов писал(а):Source of the post
Как Вам лучше поступить?
а). Оставить
б). Поменять
в). Всё равно
Для большого количества испытаний в каком случае выигрыш больше?

Я ж говорю, нет ответа. Лично я применил бы гибкую стратегию, сначала произвольные ответы и изучение множества, на котором расположены суммы на чеках, записывая при каждой ~~цифре~~сумме какой НАДО БЫЛО давать правильный ответ, по каждой ~~цифре~~сумме наберется статистика, и если она в текущий момент для S1000 складывается p:q =менять/не менять, то при $$2p>q$$

менять, иначе не менять. Это позволит, если какая-то постоянная стратегия при надписывании чеков существует (множество и распределение вероятностей на нем), нащупать ее слабые места. Предположения, что надписывающий хочет, чтоб я выиграл меньше, я не делаю. Чего-то он хочет, но неизвестно чего.

Таланов

Ian писал(а):Source of the post
Я ж говорю, нет ответа.

А если бы было автоматически или оставить выигрыш или поменять на кота в мешке?

Ian · Сообщение **Ian** » 17 авг 2011, 15:35

Таланов писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Я ж говорю, нет ответа.

А если бы было автоматически или оставить выигрыш или поменять на кота в мешке?

Тогда все равно. Ведь если я обещал всегда менять, то потом мой выбор урны А означает что мне достанется чек из урны В, это то же самое, как если я сразу наметил эту урну В.

yourdomain.com