Ещё одно уравнение с заменой переменной

modesto · Сообщение **modesto** » 21 июл 2011, 12:27

Здравствуйте всем. Ещё одна задачка из школьного курса, которая поставила меня в замешательство. Буду благодарен, если поможете разобраться с решением.

$x^3 + \frac {1}{x^3} + x^2 + \frac {1}{x^2} + x + \frac {1}{x} = 6$

Умножение на x ничего не даёт. Пытался сгруппировать целые и дробные переменные и вынести за скобки x у целых, а дробные свести к общему знаменателю. Получились подобные выражения в скобках и в числителе, но замену произвести нельзя, потому как есть ещё переменные за скобками. Но всё же, пока что этот вариант решения я рассматриваю как наиболее правдоподобный. В результате вышло:

$x(x^2 + x + 1) + \frac {x^2 + x + 1} {x^3 } = 6$

Не подскажите в каком направлении думать дальше?

Прошу прощения, в первом иксе в условии степень 3, ошибся.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 21 июл 2011, 12:38

Хм. а не попробуете ли так?
$$x^6+x^5+x^4-6x^3+x^2+x+1=0$$

Единица корень - это сразу видно.
$$(x-1)(x^5+2x^4+3x^3-3x^3-2x-1)=0$$

И опять единица корень, и тд.

СергейП

modesto писал(а):Source of the post Не подскажите в каком направлении думать дальше?

Просится так $\displaystyle t=x+ \frac 1x$

modesto · Сообщение **modesto** » 21 июл 2011, 12:43

MrDindows писал(а):Source of the post
Хм. а не попробуете ли так?

Единица корень - это сразу видно.

И опять единица корень, и тд.

Единица корень - это сразу видно.

Видно то оно может и видно, но хотелось бы прийти к этому ответу путём логических умозаключений уровня школы. Тоесть сокращения, домножения, вынесение за скобки и т.д.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 21 июл 2011, 12:45

modesto писал(а):Source of the post
MrDindows писал(а):Source of the post
Хм. а не попробуете ли так?

Единица корень - это сразу видно.

И опять единица корень, и тд.

Единица корень - это сразу видно.
Видно то оно может и видно, но хотелось бы прийти к этому ответу путём логических умозаключений уровня школы. Тоесть сокращения, домножения, вынесение за скобки и т.д.

Не знаю как вы, но мы в школе учили, что если сумма коэффициентов многочлена равна нулю, то один из его корней - единица.

Ну если так не хотите, то делайте замену, как вам написали в посте выше)

modesto · Сообщение **modesto** » 21 июл 2011, 12:50

СергейП писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post Не подскажите в каком направлении думать дальше?
Просится так $\displaystyle t=x+ \frac 1x$

Но тогда, если выразить $x^3 + \frac {1}{x^3}$ через t получится t +6x.

modesto писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post Не подскажите в каком направлении думать дальше?
Просится так $\displaystyle t=x+ \frac 1x$

Но тогда, если выразить $x^3 + \frac {1}{x^3}$ через t получится t +6x.

извиняюсь, даже не так а ещё сложнее....

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 21 июл 2011, 12:52

modesto писал(а):Source of the post

извиняюсь, даже не так а ещё сложнее....

$t^3=(x+\frac{1}{x})^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3x+\frac{3}{x}$

СергейП

modesto писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post Но тогда, если выразить $x^3 + \frac {1}{x^3}$ через t получится t +6x.
извиняюсь, даже не так а ещё сложнее....

Проще, т.к.
$\displaystyle (x+ \frac 1x)^3=x^3+3x+ 3\frac 1x +\frac {1}{x^3}=x^3+\frac {1}{x^3}+3t$
то $\displaystyle x^3+\frac {1}{x^3} = t^3-3t$

modesto · Сообщение **modesto** » 21 июл 2011, 12:58

modesto писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post Не подскажите в каком направлении думать дальше?
Просится так $\displaystyle t=x+ \frac 1x$

Но тогда, если выразить $x^3 + \frac {1}{x^3}$ через t получится t +6x.

modesto писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post Не подскажите в каком направлении думать дальше?
Просится так $\displaystyle t=x+ \frac 1x$

Но тогда, если выразить $x^3 + \frac {1}{x^3}$ через t получится t +6x.

извиняюсь, даже не так а ещё сложнее....

СергейП писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post Но тогда, если выразить $x^3 + \frac {1}{x^3}$ через t получится t +6x.
извиняюсь, даже не так а ещё сложнее....
Проще, т.к.
$\displaystyle (x+ \frac 1x)^3=x^3+3x+ 3\frac 1x +\frac {1}{x^3}=x^3+\frac {1}{x^3}+3t$
то $\displaystyle x^3+\frac {1}{x^3} = t^3-3t$

Понял, спасибо.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 21 июл 2011, 13:01

$x+\frac {1} {x}=t$

$x^2+\frac {1} {x^2}=t^2-2$

$x^3+\frac {1} {x^3}=t^3-3t$

Опередили
Когда подставим, то получим кубическое уравнение. Один из целых корней, которого будет являться делителем свободного члена t=2 (теорема Безу). Затем разделите многочлен в правой части на t-2 и получите квадратное уравнение.

yourdomain.com