Странный пример (производная)

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 15 июл 2011, 17:35

$x+2y-3z=e^{-(x+y+2z)}$
Найти $\frac {\partial z} {\partial x}$ и $\frac {\partial z} {\partial y}$

Непонятно, как это вообще решать. Вольфрам говорит, что $$z$$

можно выразить только через $$W$$

, что вроде вообще тупик (тогда и ответ через него придется выражать, к тому же само выражение страшноватое).
Посоветуйте, что здесь надо применить

venja · Сообщение **venja** » 15 июл 2011, 17:44

Думаю, производная функции, заданной неявно.

Ian · Сообщение **Ian** » 15 июл 2011, 17:51

тут ответ разрешается выражать не только через х и у, но и через саму z

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 15 июл 2011, 18:09

Ian писал(а):Source of the post
тут ответ разрешается выражать не только через х и у, но и через саму z

Т.е. для $\frac {\partial z} {\partial x}$ я просто выражаю $$z$$

(пусть и через себя), дифференциирую по $$õ$$ обе части и получаю, что надо? Ну, похоже на то…

СергейП

Equinoxe писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
тут ответ разрешается выражать не только через х и у, но и через саму z
Т.е. для $\frac {\partial z} {\partial x}$ я просто выражаю (пусть и через себя), дифференциирую по $$õ$$ обе части и получаю, что надо? Ну, похоже на то…

Это как?
Вообще-то наоборот - сначала дифференциировать, а уже потом выражать.
Можно так, записать сразу как $\displaystyle F(x,y,z)=0$ , затем найти $\displaystyle F'_x$ , $\displaystyle F'_y$ , $\displaystyle F'_z$ , далее $\displaystyle \frac {\partial z} {\partial x}= - \frac {F'_x}{F'_z}$ , $\displaystyle \frac {\partial z} {\partial y}= - \frac {F'_y}{F'_z}$
Можно и по другому

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 15 июл 2011, 19:57

venja писал(а):Source of the post
Думаю, производная функции, заданной неявно.

Это первое, что напрашивается!

bot · Сообщение **bot** » 16 июл 2011, 11:33

СергейП писал(а):Source of the post
Можно и по другому

Те же яйца, только сбоку. По теореме о неявной функции (при некоторых условиях, точную формулировку см. в любом учебнике по матану) переменная $$z$$

может быть выражена из уравнения $$F(x, y, z)=0$$

функционально через переменные $$x$$

и

. При подстановке полученной функции $$z(x, y)$$

в уравнение $$F(x, y, z)=0$$

получается тождество. Дифференцируя это тождество, мы и получим указанные выше формулы, хотя мы можем и не знать (или не хотеть знать) в явном виде эту функцию $$z(x, y)$$

.

venja · Сообщение **venja** » 16 июл 2011, 17:57

Точно такая же логическая цепочка дается и при выводе формулы для производной и для неявно заданной функции одного переменного.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 17 июл 2011, 05:21

Интересно, здесь: $$5z'_y-z'_x=1$$

,
по крайней мере там, где : $1-3z'_x\not= 0$ и $1+2z'_x\not= 0$

yourdomain.com