Задача об 11 мешках

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 16 июн 2011, 12:55

Имеется 11 мешков монет. В 10 из них монеты настоящие, а в одном — все монеты фальшивые. Все настоящие монеты одного веса, все фальшивые монеты — также одного, но другого веса. Имеются весы, с помощью которых можно определить, какой из двух грузов тяжелее и на сколько. Двумя взвешиваниями определить, в каком мешке фальшивые монеты.

[spoiler=Моё решение:]Кладём на левую чашу по одной монетке из мешков с первого по пятый, на правую - с шестого по десятый.
Если равновесие - фальшивый мешок определён (11-й) и второе взвешивание не понадобится.
Если неравновесие, сразу виден модуль разности между настоящей и фальшивой монетами.

Второе взвешивание:
Кладём 55 монет из 11-го мешка (уже известно, что они - настоящие) на левую, а на правую одну из первого, две из второго, три из третьего, ... , десять из десятого.
Стрелка покажет вес, больший модуля разности между настоящей и фальшивой монетами ровно в число раз, равное номеру "фальшивого" мешка.[/spoiler]
[spoiler=Решение "из книжки":]
[url=http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78572]http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78572[/url]
[/spoiler]
1. Не ошибочно ли моё решение?
2. А что если в каждом мешке не более 54 монет?

BSK · Сообщение **BSK** » 16 июн 2011, 13:14

Xenia1996 писал(а):Source of the post 2. А что если в каждом мешке не более 54 монет?

По 33 монеты, из каждого мешка разное количество, кладём на чашки во втором взвешивании.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 16 июн 2011, 13:17

BSK писал(а):Source of the post
Xenia1996 писал(а):Source of the post 2. А что если в каждом мешке не более 54 монет?

По 33 монеты, из каждого мешка разное количество, кладём на чашки во втором взвешивании.

Уже нашла, как обойтись 45-ю монетами.
Во втором взвешивании кладём 45 из 11-го и с 1 по 9 из мешков с первого по девятый. Если равноденствие, то фальшивый мешок - десятый.

А моё решение точно правильное?

BSK писал(а):Source of the post
По 33 монеты...

А почему по 33?

BSK · Сообщение **BSK** » 16 июн 2011, 13:20

Xenia1996 писал(а):Source of the post
А почему по 33?

Потому, что наименьшее число монет, разное количество из каждого мешка, равно 66.

Ludina · Сообщение **Ludina** » 16 июн 2011, 13:25

1. Не ошибочно ли моё решение?

Понятия не имею в чем может быть ошибка

2. А что если в каждом мешке не более 54 монет?

Первое взвешивание проводим по Вашему "рецепту". Теперь 11 мешок не нужен - там настоящие монеты и нам известно на сколько фальшивая монета легче/тяжелее настоящей (х).
Второе взвешивание: на одну чашу ложим 1 монету из первого мешка, 2 - из 2-го,..., 10 - из 10-го; на вторую, например, 10 из 10-го, 20 - из 9-го, 25 - из 8-го. Теперь сравниваем разницу в весе с х и узнаем в каком мешке была фальшивая монета.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 16 июн 2011, 13:46

Хотелось бы ещё и доказать, что одним взвешиванием обойтись нельзя...

BSK · Сообщение **BSK** » 17 июн 2011, 06:26

Та же задача, но в одну чашку весов можно класть не более 12 монет.

BSK · Сообщение **BSK** » 18 июн 2011, 09:23

Та же задача, но в чашку весов можно клать только ровно 10 монет.

Таланов

Xenia1996 писал(а):Source of the post
Имеется 11 мешков монет. В 10 из них монеты настоящие, а в одном — все монеты фальшивые. Все настоящие монеты одного веса, все фальшивые монеты — также одного, но другого веса. Имеются весы, с помощью которых можно определить, какой из двух грузов тяжелее и на сколько. Двумя взвешиваниями определить, в каком мешке фальшивые монеты.

Минимальные требования к количеству монет. В одном из мешков должно быть не менее 9 монет, присвоим ему 11 номер и пока отложим. В двух мешках с номерами 5 и 10 - не менее 5, в двух с номерами 4 и 9 - не менее 4, в двух с номерами 3 и 8 - не менее 3, в двух с номерами 2 и 7 - не менее 2, и в двух с номерами 1 и 6 - не менее 1. На одну (левую) чашу кладём из мешков с номерами 1,2,3,4,5 соответственно 1,2,3,4,5 монет, на вторую (правую) из мешков с номерами 6,7,8,9,10 соответственно 1,2,3,4,5 монет. Взвешиваем. Если равенство, то всё ясно. В противном случае на левой чаше оставляем по одной монете из каждого мешка (с 1 по 5) и добавляем на неё по одной монете из каждого мешка (с 6 по 9). На правую чашу кладём 9 монет из 11 мешка. Если равенство, то в 10 - фальшивые, если неравенство не поменялось, то фальшивые монеты в мешках с 1 по 5. Если неравенство поменялось, то с 6 по 9. А уже по разнице в первом и втором взвешениях определяем номер мешка.

BSK · Сообщение **BSK** » 20 июн 2011, 03:44

Таланов писал(а):Source of the post Минимальные требования к количеству монет. В одном из мешков должно быть не менее 9 монет, присвоим ему 11 номер и пока отложим.

Чтобы ускорить процесс, подскажу количество монет в мешках: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4

yourdomain.com