Мне эта задачка показалась ну очень простой. Буквально первая идея привела к решению. А Вы как считаете?
Задачка с индийской математической олимпиады
Добавлено: 15 июн 2011, 17:34
Sonic86
неправильное решение:
1. , 2. в соотношение в 1: . 3. в исходное соотношение , и в соотношение 1: , совместно, сократив , будет: подставим : , и в то же время, из соотношения в 2 имеем , отсюда , откуда либо , либо везде. Наконец, в случае из 1 при имеем везде.
З.Ы. ни фига себе первая идея!
Задачка с индийской математической олимпиады
Добавлено: 15 июн 2011, 17:38
Ludina
Первое что пришло в голову: f(u)=u. Осталось найти остальные решения
Задачка с индийской математической олимпиады
Добавлено: 15 июн 2011, 17:58
Ludina
Запишем 2 уравнения (переименовывая переменные): Из которых: Обращаем внимание, что отношение справа не должно зависить от z. Такие же соотношения получаются для остальных двух переменных. Делаем вывод: (или не делаем - пишу "по первому впечатлению") И вот 2 варианта ответа: f(x)=x; f(x)=0. Может, еще что-то есть...
Задачка с индийской математической олимпиады
Добавлено: 15 июн 2011, 18:32
Equinoxe
Ludina писал(а):Source of the post Запишем 2 уравнения (переименовывая переменные): Из которых: Обращаем внимание, что отношение справа не должно зависить от z. Такие же соотношения получаются для остальных двух переменных. Делаем вывод: (или не делаем - пишу "по первому впечатлению") И вот 2 варианта ответа: f(x)=x; f(x)=0. Может, еще что-то есть...
Ага, именно они. Решала по-другому — представила, что x=z=0, а дальше всё по маслу
Пусть . Тогда: Если , то очевидно все остальные . Проверяем, однако если равенство не выполняется. Значит, во всех решениях . Положим, : Получаем Т.е. либо , либо для всех , т.е. . Первое, очевидно, подходит. Смотрим, что со вторым: Выходит, С=1 (0 мы уже рассмотрели в f(x)=0) Всё.
А! Я понял!!! Это трансфинитная индукция!!!!! Жесть!!!!!!
Это неверно. Возьмите , где - функция, принимающая значение 0 на алгебраических и 1 на трансцендентных числах. Уравнение эквивалентно , где , любая функция такая, что . разбивается на сколько множеств, инвариантных относительно возведения его элементов в квадрат?
А хорошая идея, кстати. Отсюда видно, что решением уравнения будет: при , где - вообще любая функция (фигурные скобки - дробная часть числа), при аналогично, только уже может быть другой и внутренний логарифм по модулю, и какие угодно, а .
Задачка с индийской математической олимпиады
Добавлено: 15 июн 2011, 19:57
MrDindows
На основании того, что , , и откидывая случай - константа. 1) Значит
2) Предположим что есть - отличное от нуля, такое что Положим , получим откуда .
3) Положим , получим Или Значит На основании пункта 1: Тоесть