Интересные задачки

[nikon]

4. Скачки
В скачках участвуют три лошади. На одну из них ставки принимают в отношении 1:4 (то есть, если лошадь приходит первой, то поставленные на нее деньги возвращаются и еще выдают 4 раза по столько), на другую 1:3, на третью 1:1.
а) Можно ли так сделать ставки, чтобы выиграть при любом исходе забега?
б) Если вы располагаете m условными единицами, то какой максимальный выигрыш можно получить, делая ставки (для любого исхода забега). Все m единиц ставить необязательно.
в) Ставки на лошадей принимаются в отношении 1:a, 1:b и 1:c, a, b, c — натуральные числа. При каких условиях на a, b, c можно сделать ставки так, чтобы выиграть при любом исходе забега? Каков будет в этом случае максимальный выигрыш при самом плохом исходе забега?
г) Те же вопросы, если лошадей n.

5. Сумма и произведение цифр.
Будем обозначать через S(n) сумму, а через P(n) — произведение всех цифр натурального числа n.
а) Опишите все такие натуральные m, для которых найдется такое -значное число n, что n делится на S(n).
б) Опишите все такие натуральные m, что m=n+S(n) для некоторого числа n.
в) Обозначим через k(m) количество решений уравнения P(P(x) )+P(S(x) )+S(P(x) )+S(S(x) )=m. Опишите величину k(m), попробуйте выразить эту функцию аналитически или рекуррентно.
Интерес представляют и частные случаи. Рассмотрите в пунктах а) – в), например, сначала m равное 2, 3, 4, 10, 11, 20, 2011, 2t и другие. Затем попробуйте обобщить для произвольного m.
г) Предложите свои обобщения.

6. Игры с уравнениями
На доске написано уравнение x^3+#x^2+#x+#=0.
а) Двое играют в игру: первый любое действительное число ставит на одно из трех свободных мест, помеченных символами #; затем второй ставит любое число на любое из двух оставшихся мест; наконец первый ставит любое число на последнее свободное место. Всегда ли первый может добиться, чтобы получившееся уравнение имело три различных действительных корня?
б) Двое играют в игру: первый называет любое число, а второй ставит его на любое из трех свободных мест; затем первый снова называет любое число, а второй ставит его на любое из двух оставшихся мест; наконец, первый ставит любое число на последнее свободное место. Всегда ли первый может добиться, чтобы получившееся уравнение имело три различных целых корня?
в) Ответьте на вопросы, аналогичные пунктам а) – б) для уравнения 4-й степени, 5-й степени, -й степени.
г) Рассмотрим уравнение x^2012+#x^2011+#x^2010+⋯+#x^2+#x+1=0. Двое играют в игру, аналогичную пункту б). Всегда ли, независимо от игры первого игрока, второй сможет добиться, чтобы уравнение имело хотя бы одно действительное решение?
д) Предложите свои обобщения задачи.


Помогите решить хоть что- то, или подтолкните на идею решения каждой задачи дальше я сам попробую разобраться.
Заранее спасибо.

[w0robey]

По моему это всё Соросовские олимпиады... поищите

[nikon]

условие:
4. Скачки
В скачках участвуют три лошади. На одну из них ставки принимают в отношении 1:4 (то есть, если лошадь приходит первой, то поставленные на нее деньги возвращаются и еще выдают 4 раза по столько), на другую 1:3, на третью 1:1.
а) Можно ли так сделать ставки, чтобы выиграть при любом исходе забега?
б) Если вы располагаете m условными единицами, то какой максимальный выигрыш можно получить, делая ставки (для любого исхода забега). Все m единиц ставить необязательно.
в) Ставки на лошадей принимаются в отношении 1:a, 1:b и 1:c, a, b, c — натуральные числа. При каких условиях на a, b, c можно сделать ставки так, чтобы выиграть при любом исходе забега? Каков будет в этом случае максимальный выигрыш при самом плохом исходе забега?
г) Те же вопросы, если лошадей n.

Жирное выполнил, помогите завершить остальное.

[Ian]

Source of the post
условие:
4.
в) Ставки на лошадей принимаются в отношении 1:a, 1:b и 1:c, a, b, c — натуральные числа. При каких условиях на a, b, c можно сделать ставки так, чтобы выиграть при любом исходе забега? Каков будет в этом случае максимальный выигрыш при самом плохом исходе забега?
г) Те же вопросы, если лошадей n.

Жирное выполнил, помогите завершить остальное.

Минимальные безубыточные ставки на первых лошадей: , , ( и так на всех кроме последней), где N - распределяемая сумма. При этом на последнюю лошадь останется денег, а выигрыш должен превысить N:



кстати у букмекеров именно эти а+1 объявляют, а не а, так удобнее, как видим
Задача в октябре 2010 была на конкурсе. Но это не повод, чтоб здесь не обсуждать такие.