Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы

Жвачка

Доброго времени суток! Нужно найти собственные значения и векторы матрицы $\begin{vmatrix} 4 & 45 \\ -0, 25 & 3 \end{vmatrix}$ . Что сделала:
1) Составила характеристическую матрицу:

$\begin{pmatrix} 4 - \Lambda & 45 \\ -0, 25 & 3 - \Lambda \end{pmatrix}$

2) Нашла характеристический многочлен:

$\Lambda^2 - 7 \Lambda + 23, 25$

Соответственно, уравнение: $\Lambda^2 - 7 \Lambda + 23, 25 = 0$

3) Нашла дискриминант:

-44

Далее кажется должны получаться комплексные числа. ВОПРОС: по какому уравнению найти корни - по стандартному для всех квадратных уравнений, или по такому:

$\Lambda = \frac{-b\pm i\sqrt{4ac - b^2} }{2a}$

Помогите, пожалуйста, c решением

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 25 мар 2011, 14:40

Я Вам исправила, у Bac не хватало лишь тега "math".

Ludina · Сообщение **Ludina** » 25 мар 2011, 14:52

Далее кажется должны получаться комплексные числа. ВОПРОС: по какому уравнению найти корни - по стандартному для всех квадратных уравнений, или по такому:

$\Lambda = \frac{-b\pm i\sqrt{4ac - b^2} }{2a}$

To, что Вы записали и есть "стандартное уравнение для всех квадратных уравнений". Только Вы его записали уже c учетом того, что дискриминант отрицательный.
Вот смотрите:
$$\Lambda = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4àñ} }{2a}$$
Под корнем отрицательное число, поэтому
$\Lambda = \frac{-b\pm \sqrt{(4ac - b^2)(-1)} }{2a}$
Отсюда и получается
$\Lambda = \frac{-b\pm i\sqrt{4ac - b^2} }{2a}$
Теперь под корнем положительное число
Словом можете искать и так и так - получиться одно и то же, ибо формулы
$\Lambda = \frac{-b\pm i\sqrt{4ac - b^2} }{2a}$
$$\Lambda = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4àñ} }{2a}$$
это на самом деле одна и та же формула, a не две разные

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 25 мар 2011, 14:52

Жвачка писал(а):Source of the post
ВОПРОС: по какому уравнению найти корни - по стандартному для всех квадратных уравнений, или по такому:

$\Lambda = \frac{-b\pm i\sqrt{4ac - b^2} }{2a}$

A разница какая? Они тождественны, просто в этой формуле сразу видны действительная и мнимая часть.

Жвачка

Ура, спасибо!

Ho ведь остальное вроде все правильно?)

Ludina · Сообщение **Ludina** » 25 мар 2011, 16:05

Да. Bce остальное верно

Жвачка

Прошу проверить мое полное решение. Задание то же : найти собственные значения и собственные векторы матрицы $\begin{pmatrix} 4 & 45 \\ -0.25 & 3 \end{pmatrix}$ .

1) Характеристическая матрица:
$\begin{pmatrix} 4-\lambda & 45 \\ -0.25 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

2) Характеристический многочлен:
$\lambda^2-7\lambda+23.25$

Характеристическое уравнение: $\lambda^2-7\lambda+23.25=0$

3) Дискриминант: -44
Корни: $\lambda_1=3.5 + 3.31662i$
$\lambda_2=3.5 - 3.31662i$ - собственные значения

4) Векторы: $$ X^(^1^)=(x_1; x_2) $$

- первый вектор

$(A-\lambda_1E)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0$

$\begin{pmatrix} 4-(3.5+3.31662i) & 45 \\ -0.25 & 3-(3.5+3.31662i) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0.5-3.31662i & 45 \\ -0.25 & 0.5+3.31662i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0.5-3.31662i x_1 + 45x_2 \\ -0.25x_1 + 0.5+3.31662i x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ 3.31662i x_1 - 45x_2=0.5 \\ 0.25x_1-3.31662i x_2=0.5\right$

$A^(^1^)=\begin{pmatrix} 3.31662i & -45 \\ 0.25 & -3.31662i) \end{pmatrix}$

$\Delta=det A^(^1^)=\begin{vmatrix} 3.31662i & -45 \\ 0.25 & -3.31662i \end{vmatrix}=11+11.25=22.25$

$\Delta_1=\begin{vmatrix}0.5 & -45 \\ 0.5 & -3.31662i \end{vmatrix}=22.5-1.65831i$

$\Delta_2=\begin{vmatrix}3.31662i & 0.5 \\ 0.25 & 0.5 \end{vmatrix}=-0.125+1.65831i$

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac {22.5-1.65831i} {22.5}=1.0112359-0.0745307i$

$x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac {-0.125+1.65831i} {22.5}=-0.0056179+0.0745303i$

$$ X^(^1^)=(1.0112359-0.745307i;-0.0056179+0.0745303i) $$

Второй вектор:

$$ X^(^2^)=(x_1; x_2) $$

$(A-\lambda_2E)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0$

$\begin{pmatrix} 4-(3.5-3.31662i) & 45 \\ -0.25 & 3-(3.5-3.31662i) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0.5+3.31662i & 45 \\ -0.25 & 0.5+3.31662i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0.5+3.31662i x_1 + 45x_2 \\ -0.25x_1 + 0.5+3.31662i x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ 3.31662i x_1 + 45x_2=-0.5 \\ 0.25x_1-3.31662i x_2=0.5\right$

$A^(^2^)=\begin{pmatrix} 3.31662i & 45 \\ 0.25 & -3.31662i) \end{pmatrix}$

$\Delta=det A^(^2^)=\begin{vmatrix} 3.31662i & 45 \\ 0.25 & -3.31662i \end{vmatrix}=11-11.25=-0.25$

$\Delta_1=\begin{vmatrix}-0.5 & 45 \\ -0.5 & -3.31662i \end{vmatrix}=22.5+1.65831i$

$\Delta_2=\begin{vmatrix}3.31662i & -0.5 \\ 0.25 & -0.5 \end{vmatrix}=-0.125-1.65831i$

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac {22.5+1.65831i} {-0.25}=-90-6.63324i$

$x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac {-0.125-1.65831i} {-0.25}=0.5+6.63324i$

$$ X^(^2^)=(-90-6.63324i;0.5+6.63324i) $$

Мне кажется, ошибки могут быть при вычислении векторов.
Заранее благодарю

Vector · Сообщение **Vector** » 28 мар 2011, 18:49

Жвачка писал(а):Source of the post
Прошу проверить мое полное решение....
Мне кажется, ошибки могут быть при вычислении векторов.
Заранее благодарю

Так проверить нельзя?
$U^TSU = \Lambda$

U - Ортогональная матрица собственных векторов.
S - матрица приводимая к диагональному виду.

соответственно правая часть должна равняться левой.

bot · Сообщение **bot** » 29 мар 2011, 04:09

Нельзя - исходная матрица не является симметрической.

Жвачка, вместо этих безумных корней, к тому же приближенных, я бы просто рассмотрел настоящие: $\lambda=\frac72\pm\sqrt{11}i$

Для $\lambda=\frac72+\sqrt{11}i$ получаем $A-\lambda E=\begin{pmatrix}\frac12-\sqrt{11}i& 45\\ *& *&\end{pmatrix}$ . Звёздочками обозначены числа, которые лень выписывать, потому что они и не нужны: определитель матрицы равен нулю (мы ведь корень подствили!), следовательно вторая строка просто пропорциональна первой. Отсюда получаем одно уравнение c двумя неизвестными и в результате имеем c точностью до множителя один собственный вектор $(45; -\frac12+\sqrt{11}i)'$
У Bac же c какого-то вдруг $\Delta\ne 0$ , откуда однородная система должна была бы иметь только нулевое решение, a у Bac чего-то там ненулевое вдруг выходит.

Для второй лямды искать уже ничего не надо - для сопряжённых лямбд собственные векторы вещественной матрицы сопряжены.

Жвачка

bot не могли бы Вы мне посчитать, я уже замучалась c этим, вообще c математикой я никак, к слову((

Я почти уверена, что есть решение проще, просто я его не знаю

yourdomain.com