GMAT. Делимость на 3

Maximus_G · Сообщение **Maximus_G** » 22 мар 2011, 19:17

Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n-4)
B. n(n+2)(n-1)
C. n(n+3)(n-5)
D. n(n+4)(n-2)
E. n(n+5)(n-6)
Какой наиболее быстрый способ решения такого примера? Перебор не подходит, точно уйдет больше чем 1,5 минуты...
Заранее спасибо!

mihailm · Сообщение **mihailm** » 22 мар 2011, 19:21

Maximus_G писал(а):Source of the post
...
Перебор не подходит, точно уйдет больше чем 1,5 минуты
...

подходит подходит.
Учитесь быстро считать)

Ian · Сообщение **Ian** » 22 мар 2011, 19:32

Вносить поправки в условие, не изменяющие ответ

Maximus_G писал(а):Source of the post E. n(n+5)(n-6)

$\equiv n(n+5-6)(n-6+6)$ видно, что трех последовательных не получается, значит не всегда.
Вот для лучшего освоения:
Было где то на форуме $(n+1)n(n-2)(n-3)(n-4)(n^2+n+5)\equiv (n+1)n(n-2)(n-3)(n-4)(n^2+n-7n+5)=(n+1)n(n-2)(n-3)(n-4)(n-1)(n-5)$
всегда делится на 7 (хотя при отсутствии таких идей мы перебираем 7 остатков от деления n на 7,тоже не так долго)

Maximus_G · Сообщение **Maximus_G** » 22 мар 2011, 19:34

mihailm писал(а):Source of the post
Maximus_G писал(а):Source of the post
...
Перебор не подходит, точно уйдет больше чем 1,5 минуты
...

подходит подходит.
Учитесь быстро считать)

Думаю, быстро научиться считать не получиться

... если уже перебором, так надо таблицу рисовать, по горизонтали 5 вариантов, по вертикали числа, и вперед. Ну сколько, 5 чисел я проверю за 1,5 минуты, и если не те числа взял, то все, нужно лепить "научной догадкой"

... Конечно, у меня вероятно останется 2, максимум 3 варианта, но все равно, это же не один. Что-то должно быть еще

Arzamasskiy · Сообщение **Arzamasskiy** » 22 мар 2011, 19:38

A) должно подойти.
Известно, что n(n-1)(n+1) делится на 3, a там вместо n-1 стоит n-4, дающее тот же остаток.

Maximus_G · Сообщение **Maximus_G** » 22 мар 2011, 19:42

Ian писал(а):Source of the post
Вносить поправки в условие, не изменяющие ответ
Maximus_G писал(а):Source of the post E. n(n+5)(n-6)
$\equiv n(n+5-6)(n-6+6)$ видно, что трех последовательных не получается, значит не всегда.
Вот для лучшего освоения:
Было где то на форуме $(n+1)n(n-2)(n-3)(n-4)(n^2+n+5)\equiv (n+1)n(n-2)(n-3)(n-4)(n^2+n-7n+5)=(n+1)n(n-2)(n-3)(n-4)(n-1)(n-5)$
всегда делится на 7 (хотя при отсутствии таких идей мы перебираем 7 остатков от деления n на 7,тоже не так долго)

Спасибо большое!
Ho мы видим, что в A тоже нет последовательных 3х элементов, но A правильный ответ. Буду благодарен, если Вы немного про остатки расскажите. Спасибо!

Arzamasskiy писал(а):Source of the post
A) должно подойти.
Известно, что n(n-1)(n+1) делится на 3, a там вместо n-1 стоит n-4, дающее тот же остаток.

Да, Вы правы, A это верный вариант. Что значит "вместо n-1 стоит n-4, дающее тот же остаток"? Спасибо!

Arzamasskiy · Сообщение **Arzamasskiy** » 22 мар 2011, 19:44

Что значит "вместо n-1 стоит n-4, дающее тот же остаток"?

Если в n(n-1)(n+1) заменить (n-1) на (n-4), то получится A. n-4 = n-1-3, поэтому при делении на три дает тот же остаток.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 22 мар 2011, 19:45

Найти три попарных разности между множителями и посмотреть, делится ли хоть одна из них на 3. Если ни одна не делится, значит все множители дают разные остатки при делении на 3, поэтому один из них всегда делится на 3...

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 22 мар 2011, 19:55

Maximus_G писал(а):Source of the post
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n-4)

при делении на 3 имеет тот-же остаток, что и число $$n(n+1)(n-4+3+3)=n(n+1)(n+2)$$

. И осталось вспомнить, что из трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3, a значит и все произведение делится на 3.
Остальные примеры в том же духе.

Ludina · Сообщение **Ludina** » 22 мар 2011, 19:59

E. n(n+5)(n-6)= n(n+5-6)(n-6+6)

Ian, Вы же здесь в разных скобках 6 добавили и вычли. Они ж не взаимоуничтожаются

(n^2+n+5)= (n^2+n-7n+5)

A это вообще мистика...

yourdomain.com