Решение сист. ур.

Vector · Сообщение **Vector** » 19 янв 2011, 07:32

Здравствуйте, как можно решить систему уравнений, заданную в матричном виде:

K = ARA*,

если известны матрицы K и R. Необходимо найти матрицу A (A* - транспонированная к ней).

Спасибо!

mihailm · Сообщение **mihailm** » 19 янв 2011, 07:48

определить вначале размеры неизвестной матрицы
потом расписать все поэлементно

Vector · Сообщение **Vector** » 19 янв 2011, 07:53

mihailm писал(а):Source of the post
определить вначале размеры неизвестной матрицы
потом расписать все поэлементно

Спасибо за ответ. A что делать, если нужно в матпакете реализовать для произвольного случая (конечно c соблюдением правила умножения матриц)? Получается, что каждый элемент матрицы Ke - сумма произведений элементов матриц A c коэф из матрицы R. Забыл сказать, что у матрицы R - все элементы нулевые, кроме главной диагонали.

Ian · Сообщение **Ian** » 19 янв 2011, 08:36

Решений не будет ни одного, если K не является симметричной матрицей.
A если является, то действительных решений не будет, если сигнатуры (в том числе ранги) K и R не совпадают .
A если совпадают, то точно есть хотя бы одно решение, произведение (надо сообразить в каком порядке) $$Q^-1D$$

или

где

- матрица ортогонального преобразования, приводящего K к главным осям, a $$D$$

диагональная матрица c положительными числами на диагонали
Надо выбрать матпакет, который собственные векторы симметричной матрицы готов выписать :acute:

Vector · Сообщение **Vector** » 19 янв 2011, 11:54

Ian писал(а):Source of the post
Решений не будет ни одного, если K не является симметричной матрицей.
A если является, то действительных решений не будет, если сигнатуры (в том числе ранги) K и R не совпадают .
A если совпадают, то точно есть хотя бы одно решение, произведение (надо сообразить в каком порядке) или где - матрица ортогонального преобразования, приводящего K к главным осям, a диагональная матрица c положительными числами на диагонали
Надо выбрать матпакет, который собственные векторы симметричной матрицы готов выписать :acute:

C вычислением собственных чисел и векторов проблем нет, в маткаде делается. Обе матрицы K и R действительно симметричные, забыл про это сказать, a как вы додумались? Тут точно нужны собственные числа и вектора, там матрица транспонированная, a не обратная.

Ian · Сообщение **Ian** » 19 янв 2011, 13:41

Vector писал(а):Source of the post
Обе матрицы K и R действительно симметричные, забыл про это сказать, a как вы додумались?

в смысле как доказать? $$R^*=R$$

для действительных диагональных матриц, a $$K^*=(ARA^*)^*=AR^*A^*=ARA^*=K$$

Vector · Сообщение **Vector** » 20 янв 2011, 20:24

Правильно ли я понял

Задан матричный вид уравнения при оговоренных мною условиях
$$K=ARA^*$$

. Это похоже на правило преобразования квадратичной формы при переходе к другому базису. $$Q$$

составлено из собственных векторов матрицы K???

Vector · Сообщение **Vector** » 21 янв 2011, 10:16

Ian большое спасибо, все получилось, я разобрался!!!

yourdomain.com